期权动态盈亏拆解（一）：基于香草期权的仿真实验

摘要

本实验用合成路径（mock data）检验 Bergomi 动态 PnL 归因框架的四个核心命题。第一，Black-Scholes（BS）Delta 对冲后，日度损益可由"半美元 Gamma 乘以实现方差与隐含方差之差"完整解释，四个路径场景下的日度解释率（accounting $R^2$）均超过 0.999。第二，当隐含波动率曲面出现日度变动时，损益分解需要引入 Vega、Vanna、Volga 三个曲面风险项；不同模型选用不同的盈亏平衡协方差（breakeven covariance），因此将同一条实现路径的损益分配到不同分项。第三，每日重校准价格、希腊值（Greeks）和盈亏平衡水平后，局部波动率（LV）、Bergomi 两因子（2F）和可容许局部随机波动率（admissible LSV）对外生 mock market 损益的累计残差分别降至 0.0023、0.0413、0.0358，低于 BS ATM-only 口径的 −0.3064。第四，若模型价格对不可交易的 shadow state 变量有敏感性，标准曲面风险分解中会出现不可解释的 leakage 损益；加入 leakage 项后，非可容许 LSV 的累计残差从 0.8511 降至 0.5740。

实验全部基于合成数据，目的是使 Bergomi 的 PnL 归因公式可视化，不构成真实市场的模型排序证据。

为何这套框架对期权交易员重要：PnL 归因不只是事后记账。${\hat{c}}^{S\sigma }$ 和 ${\hat{c}}^{\sigma \sigma }$ 是模型在定价时隐含承诺的"公平协方差水平"——每天损益取决于实现协方差与这两个 breakeven 水平的偏差。交易员知道了 breakeven level，就能在收盘后立刻判断当日亏损来自哪类风险因子（Gamma、Vanna 还是 Volga），而不是把所有未解释部分归入噪声。更关键的是，选择模型就是选择 breakeven 水平：用 LV 定价 risk reversal，隐含的 ${\hat{c}}^{S\sigma }$ 与用 Bergomi 2F 定价差异显著；若实际 spot-vol 相关性与模型承诺不符，Vanna carry 会系统性地偏向一方。这套框架将模型选择与方向性风险暴露明确挂钩，是从纯定价工具迈向动态风险管理的核心一步。

1. 研究问题

本实验回答以下五个可验证的问题：

1. 对平值（ATM）香草期权的日度 Delta 对冲持仓，Gamma/Theta 公式能否以 0.999 以上的 $R^2$ 解释日度损益？不同路径场景（低实现波动率、匹配、高实现波动率、方差聚集）下该解释率是否稳健？
2. 当隐含波动率曲面出现 ATM level 因子的随机游走时，Vega、Vanna、Volga 项相对于 Gamma/Theta 项的量级如何？
3. LV、Heston-style 随机波动率（SV）、Bergomi 2F、admissible LSV 四类模型对同一条实现路径给出的盈亏平衡协方差有何差异？这种差异如何在 Vanna、Volga 分项上体现？
4. 每日重校准价格、Greeks 和 Theta 配平的盈亏平衡水平，能否降低各模型口径相对外生 mock market 损益的累计残差？
5. 非可容许 LSV 中，不可交易 shadow state 产生的 leakage 项量级有多大？将其纳入分解后残差如何变化？

2. 理论机制

2.1 Black-Scholes Delta 对冲的 Gamma/Theta 会计

设组合价格为 $P(t,S)$，做空期权并用 $\Delta =P_S$ 份标的进行 Delta 对冲。根据 Black-Scholes P&L 推导，一个离散时间步长 $\Delta t$ 内，Delta 对冲后的损益（PnL）为

其中 $A(t,S)=P_t-rP+(r-q)S{P}_S$，$B(t,S)=\frac{1}{2}{S}^2{P}_{SS}$。

若模型给出的盈亏平衡方差（breakeven variance）为 ${\hat{\sigma }}^2$，则无套利定价要求 $A(t,S)=-{\hat{\sigma }}^{2}B(t,S)$，代入后得到

直觉：做空期权并 Delta 对冲后，若当日实现方差高于隐含方差预算 ${\hat{\sigma }}^2\Delta t$，空 Gamma 头寸亏损；反之盈利。半美元 Gamma $B(t,S)$ 决定每单位方差差额对应的损益权重，因此即使年度累计实现方差等于隐含方差，若 Gamma 较大时实现方差偏高、Gamma 较小时实现方差偏低，累计损益仍可不为零（方差聚集效应）。

脚本对应（run_experiments.py，run_bs_delta_experiment）：

解释率定义为

2.2 隐含波动率曲面动态与 Vega/Vanna/Volga 分解

当期权价格还依赖市场隐含波动率曲面时，Delta 对冲后额外留下曲面变动项。根据 隐含波动率变动的残余 P&L，对 ATM level 因子 $\sigma$（即脚本中的 $L_t$）做二阶展开，Delta 对冲后的总损益分解为

各分项定义为

这里 ${\hat{c}}^{S\sigma }=E_t[\Delta \log S\cdot \Delta \sigma ]/\Delta t$ 是现货/波动率协方差盈亏平衡水平，${\hat{c}}^{\sigma \sigma }=E_t[(\Delta \sigma {)}^2]/\Delta t$ 是波动率方差盈亏平衡水平。不同模型对 ${\hat{c}}^{S\sigma }$ 和 ${\hat{c}}^{\sigma \sigma }$ 的设定不同，这是各模型 PnL 归因口径的根本差异所在。

希腊值（Greeks）的有限差分计算（finite_diff_greeks，扰动步长 $h_S=\max (1\%S,0.50)$，$h_{\sigma }=0.0025$ vol pt）：

Theta 用时间前向差分估计：$\Theta \approx [P(S,t+h_t,\sigma )-P(S,t,\sigma )]/h_t$，其中 $h_t=\min (\Delta t,\max (T_{\max }-t,\Delta t)\times 0.25)$。

实务含义：breakeven level 是模型对"公平协方差"的隐性承诺。${\hat{c}}^{S\sigma }$ 和 ${\hat{c}}^{\sigma \sigma }$ 在定价时就被锁入期权价格；做市商卖出期权后，每天的 Vanna/Volga carry 就是这两个水平乘以对应 Greek 的乘积（$P_{S\sigma }\cdot S{\hat{c}}^{S\sigma }\Delta t$ 和 $\frac{1}{2}{P}_{\sigma \sigma }\cdot {\hat{c}}^{\sigma \sigma }\Delta t$）。若实现的 spot-vol 协方差和 vol-of-vol 与 breakeven 一致，Vanna/Volga carry 恰好被 realized 冲击抵消，净损益为零。若出现系统性偏差，carry 就会持续累积成方向性盈亏。这意味着：

• 每日 PnL 归因：有了 breakeven，收盘后可立刻将损益拆成 Gamma surprise、Vanna surprise、Volga surprise 三部分，识别哪类风险因子当日产生超额损益。
• 对冲成本核算：用另一张期权对冲 Vanna 暴露时，对冲头寸本身每天有 Vanna carry；不计入该 carry 就会高估或低估对冲成本。
• 方向性交易：若交易员判断未来 realized ${\hat{c}}^{S\sigma }$ 将比模型承诺的更负（现货大跌时波动率涨得更猛），则当前 Vanna 保费被低估，买入 risk reversal 是有利的方向性押注。

2.3 mock 曲面的参数化与路径生成

实验采用如下二次 smile 参数化（解析公式，非 Monte Carlo）：

曲面形状（skew 系数 $-0.070/\sqrt{\tau }$，curvature 系数 $0.18/\sqrt{\tau }$）在整个实验中固定；随时间变化的部分仅有 ATM level 因子 $L_t$、现货 $S_t$ 和剩余期限 ${\tau }_i(t)$。刻意只让 $L_t$ 随机变化，以便使 Vanna/Volga 分项的结构清晰可读；随机 skew 和随机 curvature 的扩展适合后续实验。

路径按如下离散方程生成（generate_surface_path）：

参数设定：${\sigma }_S=20\%$、${\eta }_L=8\%$（年化）、${\rho }_{SL}=-0.75$；${\eta }_{\lambda }=10\%$、${\rho }_{S\lambda }=-0.35$。${\lambda }_t$ 是非可容许 LSV 诊断中使用的 shadow state，不进入标准曲面定价。全部路径使用固定随机种子 20260611。

该路径在 252 个交易日上的实现统计量为

这两个数字是后续模型盈亏平衡参数对比的基准（realized path statistics），不是市场数据。

2.4 各模型的盈亏平衡口径

各模型对 $({\hat{c}}^{S\sigma },{\hat{c}}^{\sigma \sigma })$ 的设定来自 build_kernels 函数，固定口径实验中不随时间更新：

局部波动率模型的盈亏分解口径对应 SSR 与 Vanna/Volga 盈亏平衡 中的分析：LV 将 Vanna/Volga 盈亏平衡水平锁定在当前微笑斜率；SV/Bergomi 2F/LSV 通过额外动态参数（前向方差因子、随机方差因子）设定这些水平。

实务含义：选择模型就是隐性地押注 spot-vol 协方差和 vol-of-vol 的水平。以 LV 与 Bergomi 2F 对同一张 risk reversal 报价为例：LV 的 ${\hat{c}}^{S\sigma }=-0.0140$ 比 Bergomi 2F 的 $-0.0105$ 绝对值更大，意味着 LV 认为现货下跌时波动率上升得更剧烈，因此将 Vanna 保费定得更高；若实际 spot-vol 相关性更接近 $-0.0105$，则使用 LV 的做市商每天在 Vanna carry 上系统性亏损。这一逻辑在风控层面的含义是：不同模型给出的 Vanna/Volga 敞口数字不可直接相加——同一本组合用 LV 计量的 Vanna notional 可能与用 Bergomi 2F 计量的方向相反（实验表 2 中 LV 的 Vanna 分项为 $-0.1085$，Bergomi 2F 为 $+0.2125$），因此跨模型对冲会产生方向性错误。台账和风控限额需要明确指定使用哪个模型的 breakeven 口径，且该口径应与对冲交易使用的定价模型保持一致。

2.5 每日重校准与 Theta 配平

每日重校准实验要求每个交易日按当日 $(S_t,L_t)$ 重新计算模型价格、Greeks 和盈亏平衡水平（daily_recalibrated_breakevens 函数）。各模型的 ${\hat{c}}^{S\sigma }$ 采用历史滚动估计与固定先验的混合：

• LV：${\hat{c}}_t^{S\sigma }=-0.0140\cdot (1+0.5L_t/{\sigma }_0)$（随 ATM level 调整的 smile-slope 公式）
• Heston-style SV：$0.65\cdot {\hat{c}}_{\mathrm{hist}}^{S\sigma }+0.35\cdot (-0.0090)$（历史估计与固定先验混合）
• Bergomi 2F：$0.85\cdot {\hat{c}}_{\mathrm{hist}}^{S\sigma }+0.15\cdot (-0.0105)$
• Admissible / non-admissible LSV：$0.70\cdot {\hat{c}}_{\mathrm{hist}}^{S\sigma }+0.30\cdot {\hat{c}}_{\mathrm{LV}}^{S\sigma }$

其中 ${\hat{c}}_{\mathrm{hist}}^{S\sigma }$ 是过去 40 个交易日 $\Delta x_i\cdot \Delta L_i$ 的滚动年化均值。

在设定 ${\hat{c}}^{S\sigma }$ 之后，脚本用 Theta 配平方程反推 ${\hat{c}}^{\sigma \sigma }$。连续时间下，若当天不发生随机冲击，Theta 应与二阶盈亏平衡项抵消：

由此反推（theta_consistent_volvol_breakeven 函数）：

脚本将 ${\hat{c}}_{\mathrm{theta}}^{\sigma \sigma }$ 限制在 $[0,0.08]$，以避免 Volga 极小时的数值不稳定。这是一个教学性近似，对应 模型可用性条件 的基本思想，但尚未替代完整 LV/SV/LSV 定价 PDE 的求解。

每日重校准实验同时输出两类残差：

前者检验模型内部 PnL 分解的闭合程度（accounting consistency），后者检验该模型口径能否解释外生 mock market 曲面的重估损益（market explanatory power）。

本节设计的关键限制：theta_consistent_volvol_breakeven 反解出的 ${\hat{c}}_{\mathrm{theta}}^{\sigma \sigma }$ 满足的是一个代数条件——若当天 $\Delta S=0$、$\Delta \sigma =0$，则 PnL 分解精确闭合。但实际交易日必然有随机冲击，当天的 Volga surprise 为

$(\Delta \sigma {)}^2$ 是当天的实现值，与 ${\hat{c}}_{\mathrm{theta}}^{\sigma \sigma }$ 的期望是否匹配取决于路径，并不由代数反解保证。因此 ${\hat{c}}_{\mathrm{theta}}^{\sigma \sigma }$ 并不能使每日 residual 为零；它的作用是确保"若期望实现，则 Theta decay 被准确计入"，即消除 Theta 的系统性偏差，而非消除随机 surprise。

实务中更完整的做法应是：每天用新的香草波动率曲面 ${\sigma }_t(K,T)$ 重新拟合模型参数 ${\theta }_t$（对 LV 是 Dupire 局部波动率面，对 Bergomi 2F 是前向方差相关矩阵和 vol-of-vol 参数），再从 ${\theta }_t$ 中内生导出 ${\hat{c}}_t^{S\sigma }$ 和 ${\hat{c}}_t^{\sigma \sigma }$：

• Bergomi 2F 中：${\hat{c}}_t^{S\sigma }={\int }_0^{\infty }{\xi }_t^x(u)\mathrm{d}u$（前向方差与现货的协方差积分），${\hat{c}}_t^{\sigma \sigma }$ 由前向方差的自协方差结构决定，两者均从当日校准的参数中计算，不依赖 Theta 方程。
• LV 中：${\hat{c}}_t^{S\sigma }$ 由当日 smile 斜率（SSR）与现货波动率的乘积给出，随曲面变化自动更新。

这种做法下，残差中包含三类真实的模型风险：（1）参数漂移风险——${\theta }_{t+1}\ne {\theta }_t$，今天的校准参数明天已过时；（2）模型误设风险——即使每天重校准，若模型函数形式与真实曲面动态不符，Greeks 和 breakeven 仍会系统性偏差；（3）对冲频率风险——用 $t$ 时刻 Greeks 对冲，$t+\Delta t$ 时刻曲面变化已超出线性近似范围。本实验的 theta_consistent 近似绕过了完整 PDE 校准，因此实验结果低估了真实重校准过程中的模型风险：LV 的 market residual 0.0023 在真实市场中会因参数漂移和模型误设而显著更大。

2.6 LSV 的 leakage 机制

根据 LSV P&L 完整拆解，若模型价格 $P$ 对不可交易状态变量 ${\lambda }_k$ 有非零敏感性，Delta/Vega 对冲后会留下额外项：

脚本中的简化版（leakage_pnl，leakage sensitivity 固定为 5.0）：

leakage_pnl = -leakage_sensitivity * d_lam \
              - 0.5 * leakage_sensitivity * (d_lam**2 - leakage_var_be * DT)

可容许性条件要求 $\partial P/\partial {\lambda }_k=0$（见 可用性条件与可容许类）；若该条件不满足，标准曲面分解无法吸收 ${\lambda }_k$ 对路径损益的贡献。

3. 实验设计

运行方式：在项目文件夹下执行 python run_experiments.py，固定随机种子 20260611。

3.1 实验一：Black-Scholes Delta 对冲基准

目的：验证 Gamma/Theta 公式对日度损益的解释能力，并隔离实现方差与隐含方差的差异、方差聚集效应。

操作序列：生成 $S_t$ 路径 → 逐日用 BS 公式计算 $P_t,{\Delta }_t,{\Gamma }_t,{\Theta }_t$ → 计算 actual_pnl 和 formula_pnl → 计算日度 $R_{\mathrm{acct}}^2$。

检验假设：若 $R_{\mathrm{acct}}^2>0.999$，则 Gamma/Theta 公式在离散日度对冲下成立。方差聚集场景检验：即使年化实现方差与隐含方差相等，Gamma 权重路径分布不同时，累计损益是否不同。

3.2 实验二：曲面动态香草组合

目的：将单因子 ATM level 变动引入后，量化 Vega、Vanna、Volga 相对 Gamma/Theta 的量级和时序特征。

香草组合构成（见 PORTFOLIO，设计上同时暴露于 Vega、Vanna、Volga）：

操作序列：用 mock smile 公式逐日对每条腿定价并加权求和（封闭 BS 公式，无 Monte Carlo）→ 有限差分估计组合 Delta、Gamma、Vega、Vanna、Volga → 计算各分项解释 PnL → 对比六种盈亏分解口径的残差。

检验假设：同一条 realized path 下，BS zero-breakeven 口径的残差最大；盈亏平衡水平越接近 realized 统计量（$-0.0116,0.0061$），残差越小。

3.3 实验三：固定盈亏平衡口径的模型对比

使用与实验二相同的 $(S_t,L_t,{\lambda }_t)$ 路径，仅改变 $({\hat{c}}^{S\sigma },{\hat{c}}^{\sigma \sigma },\mathrm{leakage}\mathrm{sensitivity})$，对比六种模型口径（参数见 2.4 节表格）下 Vanna、Volga 分项的差异及各自累计残差。

检验假设：Vega 项由实际 $\Delta L_t$ 决定，各模型相同；Vanna、Volga 项随 ${\hat{c}}^{S\sigma }$、${\hat{c}}^{\sigma \sigma }$ 变化；non-admissible LSV 在标准分解外多出 leakage 项。

3.4 实验四：每日重校准型盈亏分解

在实验三的基础上，每个交易日按当日 $(S_t,L_t)$ 重新计算各模型的价格、Greeks 和 Theta 配平后的盈亏平衡水平（详见 2.5 节），然后对比各模型的 market residual 和 model residual。

检验假设：每日重校准后，LV/Bergomi 2F/admissible LSV 相对 mock market PnL 的累计残差应低于 BS ATM-only 口径。non-admissible LSV 的 model residual 很小（因为模型自身 PnL 已包含 leakage），但 market residual 较大（因为 mock market PnL 不含 leakage）。

实验设计的代入近似与局限：本实验中，${\hat{c}}^{\sigma \sigma }$ 由 Theta 配平方程反解，而非从模型参数校准中内生导出。这一近似使 ${\hat{c}}^{\sigma \sigma }$ 与当日 Greeks 结构代数上匹配，因而 Theta decay 被精确分配，残差中仅剩随机 surprise 项。实务中更合适的流程是：每天用新的隐含波动率曲面重新拟合模型参数（LV 拟合 Dupire 局部波动率面，Bergomi 2F 拟合前向方差相关矩阵和 vol-of-vol），再从校准参数中内生计算 ${\hat{c}}_t^{S\sigma }$、${\hat{c}}_t^{\sigma \sigma }$，用于当天的 PnL 分解。这样导出的 breakeven 不保证 Theta 代数平衡，残差中会额外包含三类模型风险：参数在相邻两天之间的漂移（再校准风险）、模型函数形式与真实曲面动态的不匹配（模型误设风险）、以及用昨日 Greeks 对冲今日曲面变化的近似误差（对冲频率风险）。本实验因使用 Theta 配平近似，system atically 压低了这三类风险在残差中的体现，结果中的低 residual 数字（如 LV market residual 0.0023）不能直接外推至真实市场环境。

4. 实验结果

4.1 实验一：Gamma/Theta 公式检验

表 1 展示 ATM 跨式在四个路径场景下的期末累计损益。actual_pnl 由 BS 公式重估差值加 Delta 对冲头寸损益计算；formula_pnl 由封闭 Gamma/Theta 公式计算；residual 为两者差值，量级对应离散 Taylor 展开的高阶余项；$R_{\mathrm{acct}}^2$ 由日度截面方差计算。

四个场景的 $R_{\mathrm{acct}}^2$ 均超过 0.999，验证了第一个研究假设。

图 1（bs_delta_accounting_dashboard.png）回答的问题：高实现波动率场景下，Gamma/Theta 公式是否逐日累积地跟踪实际损益？三个子图分别展示现货路径（说明日收益来源）、半美元 Gamma $\frac{1}{2}{S}^2\Gamma$（说明每日方差差额的权重）、累计 actual/formula/residual（检验公式能否逐步闭合）。

图 2（bs_delta_summary_bars.png）回答的问题：四个场景下，做空跨式的累计损益方向和量级是否与"实现方差 vs 隐含方差"的预期一致？低实现波动率场景中空跨式盈利 4.1892，高实现波动率场景亏损 −6.7530，方向符合预期。匹配场景的累计损益为 0.5533 而非零，原因是 Gamma 对当日 $(\Delta S/S{)}^2$ 的权重随路径变化：全年实现方差与隐含方差相等，并不保证 Gamma 加权后的累计损益为零。方差聚集场景与匹配场景的年度实现方差相同，但前者累计损益为 0.3542，后者为 0.5533，差异来源于 Gamma 较大的早期时段集中了更多实现方差。

4.2 实验二/三：曲面动态 PnL 分项与模型口径对比

图 3（surface_accounting_dashboard_bergomi2f.png）回答的问题：在 Bergomi 2F 盈亏平衡口径下，各分项加总是否能跟踪实际重估损益？四个子图依次为现货路径、ATM level 因子 $L_t$（两条路径共同决定实际重估损益）、组合 Vega/Vanna/Volga 时序（确认该组合同时暴露于三类曲面风险）、累计 actual/explained/residual（检验分项加总效果）。

表 2 展示六种盈亏分解口径对同一条路径的期末分项加总。各列由 surface_accounting_summary.csv 汇总；actual 由封闭 BS 公式重估加 Delta 对冲头寸计算，Gamma/Theta 等各分项由 2.2 节公式（有限差分 Greeks + 盈亏平衡水平参数）计算，explained = 各分项之和，residual = actual − explained。

表中 Vega 项（−1.1573）在所有模型中相同，因为它直接由实际 $\Delta L_t$ 序列决定（${\mathrm{PnL}}^{\mathrm{Vega}}=-P_{\sigma }\Delta \sigma$），与盈亏平衡水平无关。Vanna 项随 ${\hat{c}}^{S\sigma }$ 变化最为显著：BS zero-breakeven 中为 +1.1755（因 ${\hat{c}}^{S\sigma }=0$，realized spot-vol covariance −0.0116 全部进入残差前先体现在该项），LV 中切换为 −0.1085（${\hat{c}}^{S\sigma }=-0.0140$ 偏离 realized −0.0116 较多，导致 Vanna 项反号且量级缩小，残差反而更大）。Bergomi 2F 和 Admissible LSV 的 ${\hat{c}}^{\sigma \sigma }$ 接近 realized 值 0.0061，因此 Volga 项接近零。Non-admissible LSV 的 actual 与其他模型不同（−0.0847 vs −0.3618），因为该模型的实际损益中包含了 shadow state leakage 项 0.2771。

图 4（model_accounting_waterfall.png）回答的问题：六种口径如何把同一条路径损益在分项之间重新分配？每根堆叠柱显示各分项之和（explained PnL）加上残差等于 actual PnL。

实务启示（模型口径差异）：表 2 中 LV 的残差（+1.0105）反而大于 BS zero-breakeven（−0.0603），直觉上令人意外——LV 明明有非零 breakeven，为何解释效果更差？原因在于 LV 的 ${\hat{c}}^{S\sigma }=-0.0140$ 比 realized 值 −0.0116 偏负更多，导致 Vanna 分项从 BS 口径的 +1.1755 直接翻转为 −0.1085，过度纠偏反而把残差推大。这揭示了一个实务规律：breakeven level 与 realized 统计量的偏差方向比其绝对大小更关键——方向设反的 breakeven 不如不设。对做市商而言，这意味着在用 LV 报价 risk reversal 时，若市场的实际 spot-vol 相关性长期没有 LV 预期的那么负，Vanna carry 就会系统性地偏向亏损，且这一亏损不会出现在 delta/vega 日报中，只在 PnL 归因中可见。

图 5（greek_pnl_components_by_model.png）回答的问题：哪个分项在哪些时段主导累计损益？六个子图分别对应六种口径；黑色实线是 actual，黑色虚线是 explained，其余彩色线是各 Greek 分项的累计时序。Vega 线在各子图中重合；Vanna 和 Volga 的累计路径在各子图间不同，展示了盈亏平衡水平差异的时序效应。

4.3 局部二阶 PnL 核密度热图

图 6（daily_pnl_kernel_heatmap.png）回答的问题：在同样的现货跌幅下，为什么波动率同步上升与下降会产生不同损益？

图中横轴为日对数收益 $\Delta x$，纵轴为 ATM level 变化 $\Delta \sigma$（单位：vol pt），颜色表示用 2.2 节公式（Bergomi 2F 盈亏平衡参数）在初始状态 $(S_0,L_0)$ 处计算的局部近似损益。热图在初始状态 $S_0=100$、$L_0=0$ 处用封闭公式（非 Monte Carlo）计算，不随日期更新。横轴方向的弓形弯曲来自 Gamma；纵轴方向的线性斜率来自 Vega；斜向倾斜（左下/右上象限与左上/右下象限的不对称）来自 Vanna $P_{S\sigma }\Delta S\Delta \sigma$；纵轴方向的轻微弯曲来自 Volga。

4.4 LSV leakage 诊断

图 7（lsv_leakage_diagnostic.png）回答的问题：不可交易 shadow state 对路径损益的贡献有多大，纳入后残差如何变化？

图中蓝线是仅使用标准 Gamma/Theta、Vega、Vanna、Volga 分解时的累计残差（cumulative_standard_residual），橙线是加入 leakage 项后的累计残差（cumulative_residual），虚线是累计 leakage 损益（cumulative_leakage_pnl）。

期末数值：标准残差 0.8511，加入 leakage 项后残差 0.5740，leakage 累计贡献 0.2771。残差从 0.8511 降至 0.5740 说明 shadow state 的确携带部分路径损益，但仍有 0.5740 无法被这个简化 leakage 公式解释，原因在于 leakage sensitivity 参数（5.0）是外生给定的教学设定，而非从完整 LSV 定价模型中校准得到。

实务含义（奇异期权的 leakage 风险）：对于障碍期权和雪球等路径依赖产品，模型价格通常对内部状态变量（如局部波动率因子、随机方差因子的当前值）有更强的敏感性，$\partial P/\partial {\lambda }_k$ 不为零的情形更为普遍。此时若用标准 Delta/Vega 对冲，每天会有一笔无法对冲的 leakage PnL 留在账上——接近障碍时 $\partial P/\partial {\lambda }_k$ 可能急剧放大，使 leakage 项比 Vanna/Volga 项更大。实务上的应对方式有两类：一是要求模型满足可容许性条件（调整 LSV 混合权重使 $\partial P/\partial {\lambda }_k=0$），从定价端消除 leakage；二是将 leakage 纳入 PnL 归因监控，把其累计趋势作为模型可用性的预警信号——若 leakage 项持续单向累积，说明模型对不可交易风险的敞口已超出可接受范围。

4.5 实验四：每日重校准后的残差对比

表 3 展示每日重校准实验的期末汇总。mock market actual 由外生 mock market 曲面（portfolio_value 函数，与模型无关）逐日重估得到；explained 由各模型每日重算的 Greeks 和 Theta 配平盈亏平衡水平代入 2.2 节公式计算；market residual = mock market actual − explained；model residual = 各模型自身重估 PnL − explained；两类解释率均采用 $1-\mathrm{Var}(\mathrm{residual})/\mathrm{Var}(\mathrm{market}\mathrm{PnL})$ 计算。

BS ATM-only 对 mock market PnL 的 market residual 为 −0.3064，因为它的定价只使用 ATM 隐含波动率（model_smile_vol 中 black_scholes 分支返回 atm 而无 skew/curvature），无法跟踪含 skew/curvature 的 mock market 曲面重估损益。LV、Bergomi 2F、admissible LSV 的 market residual 分别为 0.0023、0.0413、0.0358，均显著小于 −0.3064，支持第四个研究假设。

Non-admissible LSV 的 model residual 仅为 0.0358（与 admissible LSV 相同），但 market residual 达到 −0.2415。原因是该模型自身 PnL（model_actual_pnl）包含 shadow state leakage 贡献，而 mock market PnL 不含 leakage；因此模型内部分解闭合，但与外生市场损益的口径不一致。这正是 可用性条件 所述的核心问题：非可容许模型在对冲后仍会暴露于不可交易风险。

图 8（daily_recalibration_residual_comparison.png）回答的问题：每日重校准后，各模型的 market residual 和 model residual 相对 BS ATM-only 如何变化？上图为期末累计残差的柱状对比（蓝：market residual，橙：model residual），下图为对应解释率。

图 9（daily_recalibrated_greek_pnl_components.png）回答的问题：每日重校准后，各分项的累计路径能否跟踪 mock market actual PnL？六个子图与图 5 结构相同，但 Greeks 和盈亏平衡水平每日更新。LV、Bergomi 2F、admissible LSV 的 explained 曲线（黑虚线）紧贴 market actual 曲线（黑实线），说明每日重算 Greeks 与 Theta-consistent breakeven 后分项加总有效。Non-admissible LSV 的 market residual 线（灰）随时间累积，直观展示 leakage 带来的口径偏离。

对实验结果的正确解读：低 residual 源于代数近似，而非模型精度。LV 的 market residual 仅为 0.0023，在数字上接近完美，但这一结果需要审慎解读。脚本中 ${\hat{c}}_{\mathrm{theta}}^{\sigma \sigma }$ 是从 Theta 方程反解得到的——它的构造方式保证了在当日 Greeks 结构下 Theta 恰好被吸收，使"无冲击时"残差精确为零；加上本实验的 mock 曲面只有 ATM level 单一随机因子，每日 realized $(\Delta \sigma {)}^2$ 序列较为平稳，Volga surprise 不大，因此累计 residual 极小。

真实市场重校准过程中，${\hat{c}}_t^{S\sigma }$ 和 ${\hat{c}}_t^{\sigma \sigma }$ 从每日校准的模型参数 ${\theta }_t$ 中内生导出，不存在 Theta 代数平衡的保证。此时残差来自三个相互独立的来源：

因此，本实验展示的是"Theta 配平近似在单因子 mock 曲面上的代数闭合性"，而非 LV 在真实市场中优于其他模型的证据。后续若将实验升级为真实曲面上的完整参数校准循环，上表三类风险的量级将成为模型可用性评估的主要指标。

结论一（Gamma/Theta 公式）：在 mock data 环境中，ATM 跨式日度 Delta 对冲损益可由 Gamma/Theta 公式以 $R^2>0.999$ 的精度解释。方差聚集路径说明，年度累计实现方差等于隐含方差并不保证累计损益为零，Gamma 对实现方差的时间加权决定最终结果。

结论二（盈亏分解口径的核心是盈亏平衡协方差）：六种模型对同一条路径损益的归因差异几乎全部来自 ${\hat{c}}^{S\sigma }$ 和 ${\hat{c}}^{\sigma \sigma }$ 的设定。Vega 项与模型选择无关；Vanna 和 Volga 项随盈亏平衡水平变化，并不随之单调减小——LV 的 ${\hat{c}}^{S\sigma }$ 偏离 realized covariance 较多，反而产生更大的残差。

结论三（每日重校准的作用）：每日同步更新价格、Greeks 和 Theta-consistent breakeven 后，LV、Bergomi 2F、admissible LSV 的 market residual 均低于 BS ATM-only，支持 Bergomi 模型可用性框架的基本观点：模型需要同时给出初始定价和动态损益的盈亏平衡水平。这个结论在本实验中是在轻量 mock-data 近似下得到的，Theta-consistent breakeven 尚未替代完整 LV/SV/LSV PDE 的求解。

结论四（LSV 可容许性）：非可容许 LSV 的 model residual 与 admissible LSV 相同，但 market residual 显著更大。这说明可容许性不影响模型内部 PnL 分解的闭合程度，但影响模型损益与外生市场损益之间的口径一致性。加入 leakage 项后残差从 0.8511 降至 0.5740，但仍有较大残余，因为本实验的 leakage sensitivity 是外生设定，而非从完整模型校准。

结论五（实务意义总结）：PnL 归因框架的价值不限于事后记账，它将模型选择与日常风险管理直接挂钩，体现在以下三个层面：

风控层面：标准 delta/vega 报告无法区分"Vanna carry 系统性亏损"与"随机波动噪声"。有了 breakeven 口径后，Vanna 和 Volga 分项的累计时序会显示出方向性漂移，成为模型假设与实际市场动态是否匹配的监控信号。风控限额也需要指定 breakeven 口径——同一本组合在 LV 和 Bergomi 2F 口径下的 Vanna notional 可能方向相反，跨口径混用会产生虚假的对冲效果。

交易层面：模型选择隐性地设定了 ${\hat{c}}^{S\sigma }$ 和 ${\hat{c}}^{\sigma \sigma }$ 的"公平水平"；若交易员对未来 realized 统计量有独立判断，与模型 breakeven 的偏差就是方向性交易的依据。做多/做空 risk reversal、butterfly 本质上是对 ${\hat{c}}^{S\sigma }$、${\hat{c}}^{\sigma \sigma }$ 的押注，PnL 归因框架使这类押注的盈亏来源可量化。

奇异期权发行层面：障碍期权和雪球的 $|P_{S\sigma }|$ 和 $|P_{\sigma \sigma }|$ 在特定路径（接近障碍、接近赎回条件）下远大于 vanilla；breakeven 水平每偏差 0.001，对应的日度 Vanna/Volga PnL 误差被放大相应倍数。因此发行定价时需对 ${\hat{c}}^{S\sigma }$、${\hat{c}}^{\sigma \sigma }$ 做压力测试，并确保日常 PnL 归因能捕捉到接近事件窗口时的分项放大——这是从定价模型到可运营风险管理体系的关键一步。

实验局限：所有路径和参数均为合成数据；mock 曲面仅有 ATM level 因子随机化，未加入随机 skew 或随机 curvature；Theta-consistent breakeven 是轻量近似。上述结论解释 Bergomi 的归因公式如何运行，不能给出真实市场中的模型优劣排序，也不能替代真实数据的 PnL 归因回测。

6. 后续研究

真实数据方向：用日度期权曲面重建 $\Delta {\hat{\sigma }}_{K,T}$，用指数收益率估计 realized variance、spot-vol covariance 和 vol-of-vol，检验本实验 accounting residual 的量级在真实市场中是否能被解释。

模型扩展方向：在 mock 曲面中加入随机 skew 和随机 curvature 因子，观察 Vanna/Volga 分项的变化；将同一套盈亏分解框架迁移到障碍期权和雪球期权，分析事件窗口（敲入/敲出）附近的分项行为。

7. 参考笔记

• Black-Scholes P&L 推导
• 模型可用性条件
• 隐含波动率变动的残余 P&L
• SSR 与 Vanna/Volga 盈亏平衡
• 局部波动率 Carry P&L
• 前向方差模型的对冲头寸展开
• 三类 carry P&L
• LSV P&L 完整拆解
• 可用性条件与可容许类

实验脚本下载

下载 run_experiments.py