期权动态盈亏拆解（二）：基于鲨鱼鳍期权的仿真实验

摘要

单鲨鱼鳍（看涨型，含上敲出固定收益）与普通上敲出看涨的核心区别在于触障后的处理方式：后者价值归零，前者锁定固定票息 $N c_{K O}$ 。这一区别使 PDE 在上障碍处给出非零 Dirichlet 边界，产品的有效 Vega 在接近障碍时方向可以翻转——波动率上升同时推高了触障概率（锁定低票息）和未敲出时的上涨参与价值，两者对价格的影响相互抵消，导致有效 Vega 绝对值小于普通上敲出看涨。

本实验用合成路径（第 72 个交易日触及上障碍 $H = 115$ ）检验 Bergomi 动态 PnL 归因框架在单鲨鱼鳍上的适用性，重点考察三个问题：(1) PDE 定价能否给出正确的 Gamma/Theta、Bucket Vega/Vanna/Volga 分项；(2) 触障后的事件窗口 residual 是否低于普通 UOC；(3) 不同模型的 breakeven 口径如何通过 Vanna-level 分项改变残差。

数值结果：Bergomi 2F 口径下累计 actual PnL 为 −0.3074，explained PnL 为 −0.3673，residual 为 0.0599，日度解释率 $R^{2} = 0.9773$ 。Vega-level 累计 −0.2974 是最大单项；模型间差异主要来自 Vanna-level（BS zero-breakeven 为 +0.1251，LV 为 −0.0657）。触障后事件窗口内最大单日 residual 为 0.0086，远低于普通 UOC，原因是 PDE 边界条件已将触障价值变化内化。

实验全部基于合成数据，不构成真实市场模型排序证据。

1. 研究问题

看涨单鲨鱼鳍的 PDE 边界条件（上障碍处锁定固定票息、下方保底）如何转化为比普通 UOC 更温和的触障 PnL 跳变？
在 PDE 定价框架下，Bucket Vega、Bucket Vanna、Bucket Volga 对日度 PnL 的解释比例有多高？最敏感的曲面格点集中在哪些 $(K, T)$ 区域？
LV、Heston-style SV、Bergomi 2F、admissible LSV 的 breakeven 设定如何通过 Vanna-level 分项改变累计 residual？
Non-admissible LSV 的 shadow-state leakage 项量级与 admissible 版本的差距是多少？

2. 理论机制

2.1 产品收益结构

看涨单鲨鱼鳍收益部分（不含本金）定义为：

Payoff = ⎩ ⎨ ⎧ N c_{K O}, N c_{f l oor} + N α max (\frac{S _{T}}{S _{0}} - 1, 0), max_{0 \leq u \leq T} S_{u} \geq H, max_{0 \leq u \leq T} S_{u} < H .

参数设定： $N = 100$ ， $S_{0} = 100$ ， $H = 115$ ， $c_{K O} = 2%$ ， $c_{f l oor} = 0.5%$ ， $α = 100%$ ， $T = 1$ 年。

与普通 UOC 的关键区别：普通上敲出看涨触障后价值归零，触障瞬间产生价值跳变 $\approx V^{v ani l l a} (S = H)$ ；单鲨鱼鳍触障后锁定 $N c_{K O} = 2.0$ ，触障瞬间的价值变化为 $V (H^{-}) - N c_{K O}$ ，远小于前者。PDE 以非零 Dirichlet 边界条件捕捉这一差异，使触障事件窗口的 residual 不出现大幅跳跃。

2.2 PDE 定价与边界条件

设剩余期限 $τ = T - t$ ，收益部分价格 $V (S, τ)$ 满足一维 Black-Scholes PDE（ $r = q = 0$ ）：

\frac{\partial V}{\partial τ} = \frac{1}{2} (σ^{e f f})^{2} S^{2} \frac{\partial ^{2} V}{\partial S ^{2}} .

边界条件与初始条件：

V (0, τ) = N c_{f l oor} = 0.5, V (H, τ) = N c_{K O} = 2.0,

V (S, 0) = N c_{f l oor} + N α max (S / S_{0} - 1, 0), S < H .

上边界 $V (H, τ) = 2.0$ 是非零 Dirichlet 条件，对应敲出锁定。脚本（run_sharkfin_experiment.py）使用隐式 Euler 时间推进和 Thomas 三对角算法，空间格点 180，时间步数 $max (60, ⌈ 180 τ ⌉)$ 。触障后产品收益锁定， $Δ = Γ = 0$ ，所有曲面 Greeks 清零。

有效波动率：PDE 以加权平均 $σ^{e f f}$ 作为输入。权重 $w_{j}$ 在 strike 方向围绕 $K = 100$ （ATM）和 $K = 115$ （障碍），在 maturity 方向围绕当前剩余期限 $τ$ ：

σ_{t}^{e f f} = j \sum w_{j} (S_{t}, τ) σ_{t} (K_{j}, T_{j}) .

2.3 双因子 Mock 曲面

曲面由 level 因子 $L_{t}$ 和 skew 因子 $κ_{t}$ 两个随机因子驱动：

σ_{t} (K, T) = 0.20 + L_{t} + \frac{- 0.070 + κ _{t}}{T} lo g \frac{K}{S _{t}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{0.18}{T} (lo g \frac{K}{S _{t}})^{2} .

路径生成方程（固定种子 20260614）：

Δ lo g S_{t} = - \frac{1}{2} σ_{S}^{2} Δ t + σ_{S} Δ t Z_{t}^{S},

Δ L_{t} = η_{L} Δ t (ρ_{S L} Z_{t}^{S} + 1 - ρ_{S L}^{2} Z_{t}^{L}), Δ κ_{t} = η_{κ} Δ t (ρ_{S κ} Z_{t}^{S} + 1 - ρ_{S κ}^{2} Z_{t}^{κ}) .

参数： $σ_{S} = 20%$ ， $η_{L} = 8%$ ， $ρ_{S L} = - 0.75$ ； $η_{κ} = 4%$ ， $ρ_{S κ} = - 0.50$ 。

252 个交易日的实现统计量（路径基准，非市场数据）：

i \sum Δ lo g S_{i} \cdot Δ L_{i} = - 0.011385, i \sum (Δ L_{i})^{2} = 0.005931,

i \sum Δ lo g S_{i} \cdot Δ κ_{i} = - 0.003854, i \sum (Δ κ_{i})^{2} = 0.001434.

2.4 Bucket Vega：链式法则映射

实验设置 $5 \times 3$ 个曲面 bucket，行权价 $K / S_{0} \in {80%, 90%, 100%, 110%, 120%}$ ，到期 $T \in {3 M, 6 M, 1 Y}$ 。

PDE 价格 $V$ 通过 $σ^{e f f}$ 依赖各 bucket 的隐含波动率 $σ_{j}$ ，链式法则给出各 bucket Greeks：

\frac{\partial V}{\partial σ _{j}} = w_{j} \frac{\partial V}{\partial σ ^{e f f}}, \frac{\partial ^{2} V}{\partial S \partial σ _{j}} = w_{j} \frac{\partial ^{2} V}{\partial S \partial σ ^{e f f}}, \frac{\partial ^{2} V}{\partial σ _{j}^{2}} \approx w_{j}^{2} \frac{\partial ^{2} V}{\partial ( σ ^{e f f} ) ^{2}} .

其中 $\partial V / \partial σ^{e f f}$ 、 $\partial^{2} V / \partial S \partial σ^{e f f}$ 、 $\partial^{2} V / \partial (σ^{e f f})^{2}$ 均由 PDE 有限差分估计（扰动步长 $δ σ = 0.0025$ ， $δ S = max (0.5, 0.01 S)$ ）。Volga 只保留 bucket 对角项 $w_{j}^{2} (\cdot)$ ，交叉项在本实验中忽略。

每个 bucket 的隐含波动率变化由两个随机因子驱动：

Δ σ_{j} = level 因子（全 bucket 平行移动） Δ L_{t} + skew 因子（斜率变动） \frac{Δ κ _{t}}{T _{j}} lo g \frac{K _{j}}{S _{t}} .

据此，每个 bucket 的 Vega PnL 可进一步拆分为 level 贡献和 skew 贡献。

计算食谱：

步骤	输入	公式	输出
PDE 求解	$S_{t}$ ， $σ_{t}^{e f f}$	隐式 Euler	$V_{t}$ ， $Δ_{t}$ ， $Γ_{t}$ ， $Θ_{t}$
effective Vega/Vanna/Volga	$σ^{e f f}$ 扰动	有限差分	$V_{σ^{e f f}}$ ， $V_{S σ^{e f f}}$ ， $V_{(σ^{e f f})^{2}}$
bucket 映射	权重 $w_{j}$ ，因子载荷	链式法则	$V_{σ_{j}}$ ， $V_{S σ_{j}}$ ， $V_{σ_{j}^{2}}$
PnL 分项	Greeks + 路径增量	归因公式	Bucket Vega/Vanna/Volga PnL

2.5 PnL 归因公式

根据 Black-Scholes P&L 推导和隐含波动率变动的残余 P&L，Delta 对冲后的日度 PnL 分解为：

PnL^{e x pl ain e d} = PnL^{Γ/Θ} + j \sum PnL_{j}^{V e g a} + j \sum PnL_{j}^{V anna} + j \sum PnL_{j}^{V o l g a} + PnL^{L e ak a g e} .

各分项定义：

PnL^{Γ/Θ} = - Θ_{t} Δ t - \frac{1}{2} S_{t}^{2} Γ_{t} [(Δ lo g S_{t})^{2} - \overset{σ}{^}^{2} Δ t],

PnL_{j}^{V e g a} = - V_{σ_{j}} Δ σ_{j},

PnL_{j}^{V anna} = - V_{S σ_{j}} [Δ S_{t} Δ σ_{j} - S_{t} \overset{c}{^}^{S σ_{j}} Δ t],

PnL_{j}^{V o l g a} = - \frac{1}{2} V_{σ_{j} σ_{j}} [(Δ σ_{j})^{2} - \overset{c}{^}^{σ_{j} σ_{j}} Δ t] .

直觉：Vega 项由当日实际曲面移动 $Δ σ_{j}$ 决定，所有模型相同。Vanna 和 Volga 项取决于模型给出的 breakeven 协方差 $(\overset{c}{^}^{S σ_{j}}, \overset{c}{^}^{σ_{j} σ_{j}})$ ——这是不同模型 PnL 归因口径的根本差异所在，参见局部波动率 Carry P&L。

2.6 各模型 Breakeven 口径

各模型对 $(\overset{c}{^}^{S, L}, \overset{c}{^}^{L, L}, \overset{c}{^}^{S, κ}, \overset{c}{^}^{κ, κ})$ 的设定（固定口径，不随日期更新）：

模型	$\overset{c}{^}^{S, L}$	$\overset{c}{^}^{L, L}$	$\overset{c}{^}^{S, κ}$	$\overset{c}{^}^{κ, κ}$	leakage $ℓ$
BS zero-breakeven	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0
Local volatility	−0.0140	0.0049	−0.0060	0.0014	0.0
Heston-style SV	−0.0090	0.0045	−0.0030	0.0008	0.0
Bergomi 2F	−0.0105	0.0063	−0.0050	0.0016	0.0
Admissible LSV	−0.0100	0.0065	−0.0048	0.0015	0.0
Non-admissible LSV	−0.0100	0.0065	−0.0048	0.0015	5.0

Bergomi 2F 和 admissible LSV 的 $\overset{c}{^}^{S, L}$ 最接近 realized 值 −0.011385；LV 的 $\overset{c}{^}^{S, L} = - 0.0140$ 偏离更大。这一偏差方向在 Vanna-level 分项上直接体现（见 §4.2 结果分析）。

2.7 LSV Leakage

若模型价格对不可交易 shadow state $λ$ 有非零敏感性（即非可容许 LSV），标准 Gamma/Theta + Bucket Vega/Vanna/Volga 分解之外会留下（见 LSV P&L 完整拆解）：

PnL^{L e ak a g e} = - ℓ Δ λ - \frac{1}{2} ℓ [(Δ λ)^{2} - \overset{c}{^}^{λλ} Δ t] .

实验中 $ℓ = 5.0$ ，用于诊断不可交易状态变量对路径 PnL 的贡献量级。

3. 实验设计

运行方式：python run_sharkfin_experiment.py，固定种子 20260614。

3.1 产品与路径设定

设定项	值
名义本金 $N$	100
初始现货 $S_{0}$	100
上障碍 $H$	115（15% OTM）
敲出收益率 $c_{K O}$	2%（绝对值 2.0）
保底收益率 $c_{f l oor}$	0.5%（绝对值 0.5）
上涨参与率 $α$	100%
期限	1 年，252 个交易日
触障日	第 72 个交易日

3.2 四个实验模块

模块 A——PDE 基准验证：在单一模型（Bergomi 2F）口径下，逐日分解 actual PnL 为 Gamma/Theta、Bucket Vega、Bucket Vanna、Bucket Volga 和 residual，检验公式解释率是否超过 0.97。

模块 B——模型口径对比：用同一条路径，在六种 breakeven 口径下对比累计分项，重点观察 Vanna-level 分项的方向和量级随模型的变化。

检验假设：Vega-level 各模型相同；Vanna-level 的正负号取决于 $\overset{c}{^}^{S, L}$ 与 realized $- 0.0114$ 的相对大小——偏差方向相反时分项翻号。

模块 C——Bucket 分箱：对 Bergomi 2F 口径，统计每个 $(K_{j}, T_{j})$ bucket 的累计绝对贡献，识别最敏感格点。

检验假设：障碍附近（ $K / S_{0} = 110%, 120%$ ）和产品期限（ $T = 1 Y$ ）附近的 bucket 应贡献最大。

模块 D——敲出事件窗口：以触障日为 $τ = 0$ ，展示 $[τ - 20, τ + 20]$ 内的日度 actual PnL 和 residual，比较四种模型在事件窗口内的归因闭合程度。

检验假设：单鲨鱼鳍触障后 residual 应清零（PDE 边界条件使价值连续过渡），最大单日 residual 应远小于普通 UOC。

4. 实验结果

4.1 路径与 PDE 累计 PnL

图 1（sharkfin_pnl_dashboard_bergomi2f.png）回答的问题：Bergomi 2F 口径下，Bucket Vega 各分项加总是否能逐日跟踪 actual PnL，且触障后是否自然终止？

图中五个子图依次为：现货路径与障碍线（红虚线为 $H = 115$ ，红点线标记触障日）、障碍距离 $(H - S_{t}) / S_{t}$ 、双因子曲面路径（level 和 skew 因子）、日度 Vega-level/Vega-skew 堆叠、累计 actual/explained/residual。

触障前：Vega-level 日度分项多为负，累计 −0.2974。直觉：波动率上升同时提高了触障并锁定低票息的概率，压低了产品价值；由于单鲨鱼鳍触障后的收益（2.0）高于未敲出在当日 $S \to H^{-}$ 时的参与收益，Vega 的净方向为负。触障后：PDE 已将价值过渡到边界值 2.0，后续 Delta、Gamma 及曲面 Greeks 全部清零，所有分项在第 72 日后保持水平。

4.2 模型口径对比

表 1 展示六种口径对同一路径的期末分项加总。各列来源：actual 由 PDE 重估加 Delta 对冲头寸计算；Gamma/Theta、Bucket Vega/Vanna/Volga 各分项由 §2.5 公式加各模型 breakeven 参数计算；explained 为各分项之和；residual = actual − explained； $R^{2}$ 采用日度截面方差定义。

模型	actual	explained	Gamma/Theta	Vega-level	Vega-skew	Vanna-level	Vanna-skew	Leakage	residual	$R^{2}$
BS zero-breakeven	−0.3074	−0.2375	−0.0519	−0.2974	−0.0023	+0.1251	−0.0026	0.0000	−0.0699	0.9887
Local volatility	−0.3074	−0.4158	−0.0519	−0.2974	−0.0023	−0.0657	+0.0033	0.0000	+0.1085	0.9657
Heston-style SV	−0.3074	−0.3512	−0.0519	−0.2974	−0.0023	+0.0024	+0.0003	0.0000	+0.0438	0.9807
Bergomi 2F	−0.3074	−0.3673	−0.0519	−0.2974	−0.0023	−0.0180	+0.0023	0.0000	+0.0599	0.9773
Admissible LSV	−0.3074	−0.3604	−0.0519	−0.2974	−0.0023	−0.0112	+0.0021	0.0000	+0.0530	0.9787
Non-admissible LSV	−0.0499	−0.1028	−0.0519	−0.2974	−0.0023	−0.0112	+0.0021	+0.2575	+0.0530	0.9920

Vega 项相同、Vanna 项分化：六种模型的 Vega-level（−0.2974）和 Vega-skew（−0.0023）完全相同，因为这两项由实际路径 $Δ L_{t}$ 和 $Δ κ_{t}$ 决定，与 breakeven 无关。差异集中在 Vanna-level：

BS zero-breakeven（ $\overset{c}{^}^{S, L} = 0$ ）：全部 realized spot-vol 协方差进入 Vanna surprise 项，Vanna-level = +0.1251，方向为正（即 realized 协方差比"零 breakeven"的预期更负，但符号为正是因为 $V_{S σ}$ 本身为负——PnL 公式中 $- V_{S σ_{j}} [\dots]$ 的符号需结合 Greek 方向判断）。
LV（ $\overset{c}{^}^{S, L} = - 0.0140$ ）：该值比 realized $- 0.0114$ 偏负更多，过度纠偏导致 Vanna-level 翻转为 −0.0657，residual 最大（0.1085）。这与香草实验中 LV 口径残差反而最大的结论一致。
Bergomi 2F / admissible LSV：breakeven 最接近 realized 统计量，Vanna-level 接近零，residual 相对最小。
Non-admissible LSV：actual PnL 为 −0.0499（模型自身包含 leakage +0.2575），与外部观察者的 mock market PnL −0.3074 不同口径；model residual 0.0530 等于 admissible LSV，但 market residual 要用外生市场 PnL 重新计算。

图 2（sharkfin_model_waterfall.png）回答的问题：六种口径如何将同一条路径 PnL 在分项之间重新分配？

堆叠柱形图中，Vega-level 柱高在所有模型中相同；Vanna-level 柱的正负和高度随模型变化，是区分各模型归因的主要视觉特征。

4.3 Bucket 分箱：最敏感的曲面格点

表 2 展示 Bergomi 2F 口径下累计绝对贡献最大的五个 bucket（来自 sharkfin_bucket_daily.csv 的各 bucket 累计加总）。

Bucket	累计绝对贡献	Vega-level	Vega-skew	Vanna-level	Vanna-skew
K110_T12M	0.0459	−0.0416	−0.0017	−0.0025	+0.0001
K100_T12M	0.0417	−0.0384	+0.0006	−0.0023	+0.0004
K110_T06M	0.0388	−0.0350	−0.0016	−0.0022	+0.0001
K120_T12M	0.0383	−0.0330	−0.0031	−0.0020	−0.0002
K100_T06M	0.0354	−0.0323	+0.0007	−0.0020	+0.0004

格点分布的含义：K110 和 K120 位于上障碍 115 附近，其隐含波动率直接影响触障概率——波动率上升使触达概率提高，压低未敲出上涨参与腿的期望价值，对应 Vega-level 为负。K100（ATM）格点则影响上涨参与腿本身的时间价值。Volga-level 全部接近零，说明本路径下 vol-of-vol surprise（ $(Δ L_{t})^{2}$ 与 $\overset{c}{^}^{L, L} Δ t$ 的偏差）量级很小。

4.4 敲出事件窗口

图 3（sharkfin_event_window.png）回答的问题：触障前后 40 个交易日内，actual PnL 和 residual 如何分布？触障是否引发 residual 跳变？

触障前（ $τ < 0$ ）：actual PnL 多为负，反映现货接近障碍时产品价值持续压缩——触障概率升高、上涨参与腿时间价值降低。触障日（ $τ = 0$ ）：PnL 出现一次较大负值（持仓平仓）。触障后（ $τ > 0$ ）：actual PnL 和 residual 均清零，产品持仓已终止。

Bergomi 2F 口径下事件窗口内最大单日 residual 为 0.0086（第 68 个交易日）。与普通 UOC 的对比：普通 UOC 触障后价值从 $V^{v ani l l a} (H) \approx$ 几元跳变到零，事件窗口会出现较大 residual；单鲨鱼鳍触障后价值从 $V (H^{-})$ 过渡到 $N c_{K O} = 2.0$ ，差值较小，PDE 边界条件平滑了跳变，因此事件窗口 residual 保持在低量级。

4.5 累计分项时序与 Leakage 诊断

图 4（sharkfin_cumulative_components.png）回答的问题：各模型口径下，哪个分项在哪些时段主导累计 PnL？触障后各分项是否自然终止？

五个子图分别对应五种主要模型。每幅图中黑实线为 actual，黑虚线为 explained，彩色线为各分项。Vega-level 线（橙色）在各子图中重合，是最大贡献项；Vanna-level 线（绿色）在各模型间符号和斜率不同，是模型差异的主要来源。第 72 日后所有线保持水平。

图 5（sharkfin_lsv_leakage.png）回答的问题：非可容许 LSV 的 shadow-state leakage 贡献了多少 PnL，加入后 residual 如何变化？

蓝线（不含 leakage 的 standard residual）累计为 +0.3105，加入 leakage 项（+0.2575，虚线）后 residual（橙线）降至 +0.0530，与 admissible LSV 对齐。这说明 shadow state 在本路径上确实携带了大量路径 PnL；但 leakage sensitivity（ $ℓ = 5.0$ ）是外生设定值，不是从完整 LSV 模型校准得到，因此 0.0530 的剩余 residual 不代表模型真正的 accounting 精度。

5. 实验局限

本实验存在三项简化，需在解读结论时注意：

简化一（有效波动率近似）：PDE 使用单一 $σ^{e f f}$ 而非完整局部波动率面 $σ_{L V} (K, T)$ 。Bucket Greeks 通过链式法则从 effective-vol Greeks 映射得到，Volga 只保留 bucket 对角项，忽略跨 bucket 的二阶交叉项。在真实多维曲面动态下，这些交叉项会对 Volga PnL 有贡献。

简化二（固定 breakeven 口径）：六种模型的 $(\overset{c}{^}^{S, L}, \overset{c}{^}^{L, L}, \overset{c}{^}^{S, κ}, \overset{c}{^}^{κ, κ})$ 在整个路径上固定不变，未每日从模型参数校准中内生导出。真实重校准中，breakeven 随曲面变化，残差中会包含参数漂移风险和模型误设风险（详见香草实验报告 §2.5 的讨论）。

简化三（离散观察与利率）：实验使用 $r = q = 0$ 和日度连续观察，忽略了实务中的离散观察日修正、利率贴现和买卖价差。

6. 结论

结论一（PDE 边界条件平滑触障跳变）：单鲨鱼鳍的非零上边界 $V (H, τ) = 2.0$ 使触障时价值过渡平缓，事件窗口 residual 最大单日仅 0.0086，远低于普通 UOC。触障后产品风险终止，所有分项自然归零。

结论二（Vega-level 是主导分项，集中在障碍附近格点）：累计 Vega-level −0.2974 占 actual PnL −0.3074 的绝大部分。Bucket 分箱显示，K110_T12M 和 K120_T12M（障碍附近）贡献最大，其次是 K100_T12M 和 K100_T06M（ATM）。这一分布反映了单鲨鱼鳍价值对上障碍触达概率的敏感性。

结论三（Vanna-level 是模型口径差异的核心）：LV 的 Vanna-level 为 −0.0657，residual 最大（0.1085），原因是 $\overset{c}{^}^{S, L} = - 0.0140$ 比 realized −0.0114 偏负更多，方向设反导致过度纠偏。Bergomi 2F 和 admissible LSV 的 breakeven 更接近 realized 统计量，residual 较小。这一结论与香草实验中"breakeven 偏差方向比绝对大小更关键"的观察一致。

结论四（Non-admissible LSV 的 leakage 量级显著）：加入 leakage 项后 standard residual 从 0.3105 降至 0.0530，说明 shadow state 在本路径上贡献了大量 PnL。但这一结论依赖外生的 $ℓ = 5.0$ 设定，不代表从完整模型校准后的真实 leakage 量级。

实验能回答的问题：PDE 定价下单鲨鱼鳍的 PnL 归因机制；Bucket Vega 链式法则的数值实现；不同 breakeven 口径对 Vanna 分项的影响方向；触障对事件窗口 residual 的抑制效果。

实验不能回答的问题：真实市场中各模型的定价精度排序；完整曲面动态（随机 skew、随机 curvature 同时随机化）下的 PnL 归因；利率非零、离散观察日下的产品行为；真实对冲成本和 bid-ask 价差。

7. 参考笔记

实验脚本下载

下载 run_sharkfin_experiment.py