第四章：随机波动率导论

——从隐含波动率建模到前向方差曲线

本笔记基于 Bergomi《Stochastic Volatility Modeling》第四章，按原书行文结构整理，兼顾数学推导的经济直觉与实务启发。

导言

第二章和第三章揭示了局部波动率模型的根本局限：作为单因子马尔可夫模型，它的 vol of vol 和远期偏斜被市场微笑完全锁定，没有独立的调节空间。第三章的 cliquet 分析进一步说明，局部波动率模型对 $δ P_{1}$ 和 $δ P_{2}$ 的预测系统性偏低。要突破这一约束，必须引入随机波动率（stochastic volatility）——让波动率本身成为独立的随机过程。

但随机波动率建模并非易事。直接对隐含波动率 $\overset{σ}{^}_{K T}$ 建模，会遇到漂移项极为复杂（依赖整张曲面）且无套利约束难以满足的问题。对局部波动率函数 $σ (t, S)$ 建模同样面临非局部漂移的困难。本章系统地探索了三条路径——直接建模隐含波动率、建模局部波动率函数、建模幂次支付的隐含波动率——逐步收窄到一个可行的建模框架：前向方差曲线。

这一框架的核心是对数合约（ $p \to 0$ ）的前向方差 $ζ_{t}^{T}$ ，它具有零漂移的特殊性质，使得 SDEs 大幅简化。第五章（方差互换）和第七章（前向方差模型）将在此基础上展开。

读完本章可以掌握：

为什么直接建模 $\overset{σ}{^}_{K T}$ 和 $σ (t, S)$ 均不可行，各自的技术障碍是什么
幂次支付的隐含波动率如何通过 Gauss-Hermite 积分从香草微笑中提取
前向方差 $ξ^{pT}$ 的无套利漂移约束（式4.29），以及 $p = 0$ 时漂移消失的特殊性
Cheyette 型马尔可夫表示在方差曲线上的适用与局限

1. 直接建模隐含波动率（§4.1）

研究动机

局部波动率模型可以视为对隐含波动率曲面的一种隐式建模：校准后微笑的动态由 $σ (t, S)$ 完全确定。一个自然的想法是：能否直接对 $\overset{σ}{^}_{K T}$ 建立 SDE，赋予其独立的随机性？这样就可以自由指定 vol of vol 和偏斜动态，不受局部波动率的约束。本节说明这条路径为何最终不可行。

1.1 对隐含波动率直接建模的困难（§4.1.1）

设 $\overset{σ}{^}_{K T}$ 满足 SDE：

{d S = \overset{σ}{ˉ} S d W^{S} d \overset{σ}{^}_{K T} = μ_{K T} d t + λ_{K T} d W^{K T} (4.3)

期权价格 $C_{K T} = P_{B S} (t, S, \overset{σ}{^}_{K T}, T)$ ，要求其漂移为零（零利率下的鞅条件）。对 $C_{K T}$ 用 Itô 公式展开，令漂移项为零，可以解出 $μ_{K T}$ 的表达式。这一表达式虽然解析可得，但存在两个根本困难：

困难一：内嵌矛盾。一旦给定 $\overset{σ}{ˉ}$ 和 $\overset{σ}{^}_{K T}$ 的 SDE， $S_{t}$ 的完整动态就被确定，从而产生所有到期日和行权价的期权价格。这意味着 $\overset{σ}{^}_{K T}$ 对所有 $K, T$ 的初值不能自由指定——它们必须满足 $S_{t}$ 动态所隐含的无套利约束（第二章§2.2.2的条件）。初始微笑的信息需要被"嵌入" $\overset{σ}{ˉ}$ 的过程中，而这种嵌入方式极为复杂。

困难二：短期约束。可以证明（Gatheral [43]），当 $T \to t$ 时：

T \to t lim \overset{σ}{^}_{S T, t} = \overset{σ}{ˉ}_{t} (4.5)

即短期 ATM 隐含波动率必须收敛到瞬时波动率。这为 $\overset{σ}{^}_{K T}$ 和 $\overset{σ}{ˉ}$ 的过程施加了一个非平凡的联动约束，进一步限制了建模的自由度。

结论：直接建模香草期权隐含波动率是不可行的——漂移项非局部、无套利约束难以显式满足、初始微笑的嵌入方式不透明。

2. 建模局部波动率函数的动态（§4.2）

研究动机

§4.1的困难来自于隐含波动率与期权价格之间的非线性关系。局部波动率函数 $σ (t, S)$ 通过 Dupire 公式与期权价格一一对应，且无套利条件简化为 $σ^{2} (t, S) > 0$ 。对 $σ^{2}$ 建模似乎更自然。本节推导 $σ_{τ S}^{2}$ 的无套利漂移，说明即使走这条路，计算代价同样无法承受。

2.1 局部方差的无套利漂移（§4.2）

用符号 $σ_{τ S}^{2} \equiv σ_{t}^{2} (τ, S)$ 表示时刻 $t$ 的局部方差函数在点 $(τ, S)$ 处的值。在动态模型中， $\overset{σ}{ˉ}_{t} = σ_{t} (t, S_{t})$ ，即瞬时波动率由局部方差函数的短端给出（式4.6）。

SDEs 为：

{d S = (r - q) S d t + σ_{tS} S d W^{S} d σ_{τ S}^{2} = μ_{τ S} d t + λ_{τ S} d W^{τ S} (4.7)

要确定 $μ_{τ S}$ ，需要利用局部方差与期权价格的关系（Dupire公式式4.8）以及蝶式价差的零漂移条件。最终得到漂移公式（式4.14）：

μ_{τ S} = - \frac{λ _{τ S}}{ρ _{τ S}} (S \frac{d ρ _{τ S}}{d S} σ_{tS} ρ^{S, τ S} + \frac{1}{2} \int_{t}^{τ} \int_{0}^{\infty} ρ_{ux} x^{2} \frac{d ^{2} ρ _{τ S}}{d x ^{2}} λ_{ux} ρ^{ux, τ S} d x d u) (4.14)

其中 $ρ_{τ S} = E_{t} [δ (S_{τ} - S)]$ 是风险中性密度。

技术说明：式（4.14）的推导分三步：① 由式（4.9）， $σ_{τ S}^{2} ρ_{τ S}$ 等于折现后的日历价差，漂移为零；② $ρ_{τ S}$ 是蝶式价差，漂移也为零；③ 将 $d (σ^{2} ρ) = 0$ 展开，用 Feynman-Kac 定理计算 $δ ρ / δ σ^{2}$ （即式4.13，与第二章§2.9的Vega对冲密度公式2.117完全一致），整理出 $μ_{τ S}$ 。

为什么仍然不可行： $μ_{τ S}$ 涉及前向转移密度 $ρ_{τ S} (ux, σ^{2})$ 对所有 $u \in [t, τ]$ 的积分——这是一个非局部泛函，计算代价极高。局部波动率模型（ $λ \equiv 0$ ， $μ \equiv 0$ ）和"每点独立随机"（所有相关系数为零）是使 $μ_{τ S} = 0$ 的两种退化情形，后者可以证明与局部波动率模型给出相同的期权价格（第四章脚注4）。

结论：建模局部方差函数的动态同样不可行——漂移非局部，没有简单的显式解。

3. 幂次支付的隐含波动率与前向方差（§4.3）

研究动机

前两节说明，隐含波动率和局部波动率都是难以直接建模的"笨拙对象"。转机在于：隐含波动率可以对任意凸或凹支付定义，未必一定是香草期权。能否找到一类支付，使得其隐含波动率的动态更简洁？

Bergomi 的答案是幂次支付（power payoff） $S_{T}^{p}$ 。这类支付有一个重要性质：其 Black-Scholes 价格对隐含方差是指数型（而非通过 $d_{1}, d_{2}$ 的复杂函数），因此从幂次支付价格提取的前向方差 $ξ^{pT}$ 的漂移有封闭表达式。特别地，当 $p \to 0$ （对应对数合约）时，漂移恰好消失，得到极为简洁的 SDEs。

3.1 幂次支付的价格与隐含波动率（§4.3.1）

定义：支付 $S_{T}^{p}$ 的 Black-Scholes 价格为：

Q^{pT} = e^{- r (T - t)} F_{T}^{p} e^{\frac{p ( p - 1 )}{2} (T - t) \overset{σ}{^}^{2}} (4.15)

给定市场价格 $Q^{pT}$ ，反解得到隐含方差 $\overset{σ}{^}_{pT}^{2}$ 。当 $p \in] 0, 1 [$ 时 $S^{p}$ 为凹函数，价格有限，隐含波动率有定义。

从香草微笑计算幂次支付隐含波动率（§4.3.1）：

引入 Matytsin 的 moneyness 变量：

y (K) = \frac{ln ( F _{T} / K )}{σ ^ _{K T} T} + (p - \frac{1}{2}) \overset{σ}{^}_{K T} T (4.19)

（ $p = 0$ 时 $y = d_{2}$ ， $p = 1$ 时 $y = d_{1}$ ；映射 $K \to y$ 单调且将 $[0, + \infty]$ 映射到 $[- \infty, + \infty]$ ）

通过 $K \to y$ 换元，幂次支付隐含方差与香草隐含方差之间存在精确关系：

e^{\frac{p ( p - 1 )}{2} \overset{σ}{^}_{p}^{2} T} = \int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{e ^{- y^{2} /2}}{2 π} e^{\frac{p ( p - 1 )}{2} \overset{σ}{^}_{K (y, p) T}^{2} T} d y (4.20)

两边取对数，幂次支付隐含方差等于以标准正态分布为权重的 $\overset{σ}{^}_{K (y, p) T}^{2}$ 的某种对数平均，在 $p (p - 1) /2$ 的指数族意义下。

两个重要极限：

① 对数合约（ $p \to 0$ ）： $S^{p} \to 1 + p ln S$ ，隐含波动率退化为对数合约的隐含波动率。展开式（4.20）到 $p$ 的一阶项：

\overset{σ}{^}_{l n S}^{2} = \int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{e ^{- y^{2} /2}}{2 π} \overset{σ}{^}_{K (y) T}^{2} d y, y (K) = \frac{ln ( F _{T} / K )}{σ ^ _{K T} T} - \frac{σ ^ _{K T} T}{2} (4.21)

这是 Chriss-Morokoff（1999）公式：对数合约隐含方差等于以标准正态密度加权的香草隐含方差均值。权重 $y (K)$ 是 $d_{2}$ ，权重在 ATM 附近最大，两侧递减。与直接用价格积分相比，高斯积分对数值离散化更稳定，10 个 Gauss-Hermite 节点即可达到很好的精度。

② $S ln S$ 合约（ $p \to 1$ ）：

\overset{σ}{^}_{S l n S}^{2} = \int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{e ^{- y^{2} /2}}{2 π} \overset{σ}{^}_{K (y) T}^{2} d y, y (K) = \frac{ln ( F _{T} / K )}{σ ^ _{K T} T} + \frac{σ ^ _{K T} T}{2} (4.22)

与式（4.21）的差别仅在于 $y (K)$ 用 $d_{1}$ 代替 $d_{2}$ ——权重向高行权价偏移。

直觉对比：对数合约的美元 Gamma 与 $S$ 无关（ $1/ K^{2}$ 密度），因此其隐含波动率对低行权价的高波动率与高行权价的低波动率均匀响应， $d_{2}$ 权重在 ATM 居中； $S ln S$ 合约的美元 Gamma 正比于 $S$ （ $1/ K$ 密度），权重向高行权价倾斜，用 $d_{1}$ 。两个公式的结构统一揭示了支付函数密度与 Gauss-Hermite 权重之间的系统联系。

3.2 前向方差的定义（§4.3.2）

幂次支付满足凸序条件（式4.23），因此可以定义正的前向方差：

离散前向方差： $ξ^{p T_{1} T_{2}} = \frac{( T _{2} - t ) σ ^ _{p T_{2}}^{2} - ( T _{1} - t ) σ ^ _{p T_{1}}^{2}}{T _{2} - T _{1}}$ （式4.24）
连续前向方差： $ξ^{pT} = \frac{d}{d T} ((T - t) \overset{σ}{^}_{pT}^{2})$ （式4.25）

$ξ^{pT}$ 对所有 $T$ 构成方差曲线（variance curve），是将要建模的状态变量。这一定义与第三章对远期波动率 $\overset{σ}{^}_{T_{1} T_{2}}^{2}$ 的定义（式3.2）完全类比——将积分方差视为"方差的期限结构"，前向方差是其"即期利率"。

3.3 前向方差的无套利漂移（§4.3.3）

SDEs 设为：

{d S_{t} = ξ_{t}^{t} S_{t} d W_{t}^{S} d ξ_{t}^{pT} = μ_{t}^{T} d t + λ_{t}^{T} d W_{t}^{T} (4.26)

$Q^{pT}$ 用前向方差表示为：

Q^{pT} = S^{p} e^{\frac{p ( p - 1 )}{2} \int_{t}^{T} ξ^{p τ} d τ} (4.27)

对 $Q^{pT}$ 用 Itô 公式，令漂移为零，对 $T$ 求导，得到 $μ_{t}^{T}$ 的无套利约束：

μ_{t}^{T} = - (p ξ_{t}^{t} λ_{t}^{T} ρ^{S T} + \frac{p ( p - 1 )}{2} \int_{t}^{T} ρ^{T u} λ_{t}^{T} λ_{t}^{u} d u) (4.29)

其中 $ρ^{S T} = ⟨ d W^{S} d W^{T} ⟩ / d t$ 为现货与前向方差的相关系数， $ρ^{T u} = ⟨ d W^{T} d W^{u} ⟩ / d t$ 为不同期限前向方差之间的相关系数。

式（4.29）的结构包含两项：

第一项 $- p ξ^{t} λ^{T} ρ^{S T}$ ：现货与前向方差之间的协方差引入的漂移修正，正比于 $p$ 和现货/vol 相关系数
第二项 $- \frac{p ( p - 1 )}{2} \int_{t}^{T} ρ^{T u} λ^{T} λ^{u} d u$ ：不同期限前向方差之间的协方差引入的修正，正比于 $p (p - 1)$

短端约束：令 $T \to t$ ， $Q^{pT} \to S^{p}$ ，要求 $ξ_{t}^{t} = \overset{σ}{ˉ}_{t}^{2}$ ，即方差曲线的短端等于瞬时方差（式4.30）。这是一个自动满足的边界条件，不需要额外施加。

3.4 关键特例： $p = 0$ ，漂移消失（§4.3.6）

取 $p \to 0$ ，式（4.29）的两项均包含 $p$ 的因子，漂移完全消失：

{d S_{t} = ζ_{t}^{t} S_{t} d W_{t}^{S} d ζ_{t}^{T} = λ_{t}^{T} d W_{t}^{T} (4.36)

其中 $ζ_{t}^{T} \equiv ξ^{p = 0, T}$ 是对数合约的前向方差曲线。

这是本章最重要的结论：对数合约前向方差是鞅（martingale），无漂移。从建模角度看，只需指定 $λ_{t}^{T}$ （前向方差的波动率结构）即可完全确定 SDEs，无需考虑漂移项。这使得模型的设计和校准大幅简化，是第七章前向方差模型（"Bergomi模型"）的理论基础。

直觉解释：对数合约本身是一个欧式期权，其价格是鞅。前向方差 $ζ^{T} = \frac{d}{d T} ((T - t) \overset{σ}{^}_{T}^{2})$ 是对数合约积分方差关于到期日的导数，可以视为"方差的瞬时远期价格"。在无套利条件下，远期价格（适当折现后）是鞅——当利率为零时， $ζ^{T}$ 直接是鞅，漂移为零。

3.5 Cheyette 型马尔可夫表示的尝试与局限（§4.3.4）

对一般 $p$ ，Monte-Carlo 模拟需要追踪整条方差曲线的演化，计算代价高。参照利率模型中 Cheyette（1992）的方法，可以假设 $λ_{t}^{T} = \sum_{i} α_{i} (T) β_{i t}$ （分离变量形式），尝试将 $ξ_{t}^{T}$ 表示为少数状态变量的函数（式4.33–4.35）。

这一方法在利率模型中成立，但在方差曲线中遇到一个关键障碍：前向利率可以为负，而瞬时方差必须非负。在表达式 $ξ_{t}^{t} = ξ_{0}^{t} + \sum_{i} α_{i} (t) x_{i t} \geq 0$ 中，无法简单地通过选取 $β_{i}$ 和 $α_{i}$ 来保证非负性。对数正态形式（ $d ξ^{T} = ξ^{T} (\dots)$ ）也无法给出马尔可夫表示，除非 $p = 0$ 或 $p = 1$ 。

结论：对一般 $p$ 的幂次支付，不存在类似 HJM-Cheyette 框架的低维马尔可夫表示。实践中常用的是 $p = 0$ 的前向方差模型（第七章），其中马尔可夫表示通过对 $λ_{t}^{T}$ 的特殊参数化（如指数衰减核）来实现。

本章总结

三条路径的结论：

建模对象	核心困难	是否可行
直接建模 $\overset{σ}{^}_{K T}$ （§4.1）	漂移复杂；初始微笑嵌入不透明；无套利约束难以满足	❌
建模局部方差函数 $σ^{2} (τ, S)$ （§4.2）	漂移非局部，涉及全部前向转移密度	❌
建模幂次支付前向方差 $ξ^{pT}$ （§4.3）	漂移封闭（式4.29）； $p = 0$ 时漂移消失	✅

核心公式：

编号	内容	用途
(4.15)	幂次支付 BS 价格	定义 $\overset{σ}{^}_{pT}$
(4.20)	幂次支付隐含方差与香草微笑的关系	从市场提取 $\overset{σ}{^}_{pT}$
(4.21)	对数合约隐含方差公式（Chriss-Morokoff）	计算 $\overset{σ}{^}_{T}$ ，是方差互换定价的基础
(4.24/4.25)	离散/连续前向方差定义	建模状态变量
(4.29)	前向方差的无套利漂移	SDE 的完整约束
(4.36)	$p = 0$ 时的无漂移 SDEs	第七章前向方差模型的起点

专题：工作流算例——从香草微笑到对数合约前向方差曲线

本算例演示如何从市场香草期权报价出发，经由式（4.21）计算对数合约隐含方差，再构建前向方差曲线 $ζ_{t}^{T}$ ，最后说明参数化 $λ_{t}^{T}$ 的基本思路。

基础数据（沿用第二章步骤1的报价）： $S_{0} = 100$ ， $r = q = 0$ ，3M 和 1Y 两个到期日，共11个格点：

到期日	K=90	K=95	K=100	K=105	K=110	K=115
3M	22.5%	21.0%	20.0%	19.2%	18.6%	—
1Y	21.5%	20.8%	20.0%	19.4%	19.0%	18.7%

步骤1：计算对数合约隐含方差（式4.21）

做什么：用 Gauss-Hermite 积分，对每个到期日计算 $\overset{σ}{^}_{l n S}^{2}$ 。

核心公式（式4.21）：

\overset{σ}{^}_{l n S}^{2} (T) = \int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{e ^{- y^{2} /2}}{2 π} \overset{σ}{^}_{K (y) T}^{2} d y, y (K) = \frac{ln ( F _{T} / K )}{σ ^ _{K T} T} - \frac{σ ^ _{K T} T}{2}

数值实现：选取 $n = 5$ 个 Gauss-Hermite 节点 $y_{i}$ （节点 $\approx \pm 2.02, \pm 0.958, 0$ ，权重已知），对每个 $y_{i}$ 反解对应行权价 $K (y_{i})$ ，插值得到 $\overset{σ}{^}_{K (y_{i}) T}$ ，加权求和。

对 3M（ $T = 0.25$ ， $F = 100$ ，以 $y = 0$ 即 ATM 为主导）：权重最大的节点对应 $y = 0$ ， $K (0) = F \cdot e^{\overset{σ}{^} T \cdot \overset{σ}{^} T /2} \approx 100 \cdot e^{0. 2^{2} \times 0.25/2} \approx 100.5$ ， $\overset{σ}{^} \approx 20.0%$ 。负偏斜使低 $K$ （高 $\overset{σ}{^}$ ）的权重略高于高 $K$ （低 $\overset{σ}{^}$ ），总体：

\overset{σ}{^}_{l n S}^{2} (3 M) \approx (20.1%)^{2} \Rightarrow \overset{σ}{^}_{l n S} (3 M) \approx 20.1%

（略高于 ATMF 的 20.0%，与第三章式3.30的预测 $\overset{σ}{^}_{l n S} > \overset{σ}{^}_{F_{T} T}$ 一致）

对 1Y（ $T = 1.0$ ，偏斜更陡，修正更大）：

\overset{σ}{^}_{l n S}^{2} (1 Y) \approx (20.3%)^{2} \Rightarrow \overset{σ}{^}_{l n S} (1 Y) \approx 20.3%

关键观察：对数合约隐含波动率高于 ATMF 隐含波动率（3M 高约 0.1%，1Y 高约 0.3%），差值随期限和偏斜幅度增大——与第三章式（3.30）的近似预测吻合。

步骤2：构建对数合约积分方差期限结构

做什么：将 $\overset{σ}{^}_{l n S} (T)$ 换算为积分方差 $v (T) = (T - t) \overset{σ}{^}_{l n S}^{2} (T)$ ，验证凸序条件。

到期日 $T$	$\overset{σ}{^}_{l n S} (T)$	积分方差 $v (T) = T \overset{σ}{^}^{2}$
3M (0.25)	20.1%	0.25×(0.201)² = 0.01010
1Y (1.00)	20.3%	1.00×(0.203)² = 0.04121

凸序条件： $v (1 Y) > v (3 M)$ ✅（ $0.04121 > 0.01010$ ）。

步骤3：计算离散前向方差

做什么：由式（4.24），提取 $[3 M, 1 Y]$ 区间的离散前向方差。

ξ^{3 M \to 1 Y} = \frac{v ( 1 Y ) - v ( 3 M )}{T _{2} - T _{1}} = \frac{0.04121 - 0.01010}{0.75} = \frac{0.03111}{0.75} \approx 0.04148

对应前向波动率 $0.04148 \approx 20.4%$ 。

关键观察：前向方差（20.4%）略高于当期 ATMF 和对数合约隐含波动率，反映了期限结构从3M到1Y略有上倾（1Y 的对数合约隐含波动率高于3M）。若期限结构下倾，前向方差将低于当期值。

步骤4：设定前向方差波动率 $λ_{t}^{T}$

做什么：选择 $λ_{t}^{T}$ 的参数化形式，完成 SDE（4.36）的设定。

最简单的选择是指数衰减核（第七章将详细讨论）：

λ_{t}^{T} = ν \cdot e^{- κ (T - t)}

其中 $ν > 0$ 控制整体 vol of vol 水平， $κ > 0$ 控制期限结构衰减速度（近端前向方差波动更大，远端衰减）。

典型参数量级： $ν \approx 0.5 \sim 2.0$ （对应 vol of vol 约 $50% \sim 200%$ ）， $κ \approx 0.5 \sim 2.0$ （对应相关时间 $1/ κ$ 约 $0.5 \sim 2$ 年）。

关键观察： $λ_{t}^{T}$ 完全自由——局部波动率模型中 vol of vol 被微笑锁定，而此处 $ν$ 和 $κ$ 是独立参数，可以根据历史 vol of vol 数据或 cliquet 市场价格校准，彻底解除了第二、三章指出的约束。

工作流总结

步骤	核心公式	本算例关键数值
1. 对数合约隐含方差	式（4.21），Gauss-Hermite积分	$\overset{σ}{^}_{l n S}$ ：3M 20.1%，1Y 20.3%
2. 积分方差期限结构	$v (T) = T \overset{σ}{^}_{l n S}^{2}$	3M: 0.01010，1Y: 0.04121，凸序✅
3. 离散前向方差	式（4.24）	$ξ^{3 M \to 1 Y} \approx 0.04148$ （≈20.4%² ）
4. 参数化 $λ_{t}^{T}$	指数衰减核 $ν e^{- κ (T - t)}$	$ν, κ$ 独立于市场微笑，可自由校准

与第二章的对比：局部波动率模型在步骤4没有自由参数——所有动态由步骤1–3的微笑完全确定。前向方差框架在步骤4引入了独立的 vol of vol 参数，使得 cliquet 定价中的 $δ P_{1}$ 估计可以脱离当前微笑形状，直接对标历史或隐含 vol of vol 水平。

附：关键公式索引

编号	内容
(4.3)	隐含波动率的直接建模 SDEs（不可行）
(4.5)	短期 ATM 隐含波动率趋向瞬时波动率
(4.6)	动态局部波动率模型中的瞬时波动率
(4.7)	局部方差函数的建模 SDEs
(4.14)	局部方差的无套利漂移（非局部，计算代价高）
(4.15)	幂次支付的 BS 价格
(4.20)	幂次支付与香草隐含方差的关系
(4.21)	对数合约隐含方差（Chriss-Morokoff 公式）
(4.22)	$S ln S$ 合约隐含方差
(4.24/4.25)	离散/连续前向方差定义
(4.27)	幂次支付价格用前向方差表示
(4.29)	前向方差的无套利漂移
(4.30)	方差曲线短端等于瞬时方差
(4.36)	$p = 0$ 的无漂移 SDEs（前向方差模型基础）

第四章：随机波动率导论

——从隐含波动率建模到前向方差曲线

目录

导言

1. 直接建模隐含波动率（§4.1）

研究动机

1.1 对隐含波动率直接建模的困难（§4.1.1）

2. 建模局部波动率函数的动态（§4.2）

研究动机

2.1 局部方差的无套利漂移（§4.2）

3. 幂次支付的隐含波动率与前向方差（§4.3）

研究动机

3.1 幂次支付的价格与隐含波动率（§4.3.1）

3.2 前向方差的定义（§4.3.2）

3.3 前向方差的无套利漂移（§4.3.3）

3.4 关键特例：p=0，漂移消失（§4.3.6）

3.5 Cheyette 型马尔可夫表示的尝试与局限（§4.3.4）

本章总结

专题：工作流算例——从香草微笑到对数合约前向方差曲线

步骤1：计算对数合约隐含方差（式4.21）

步骤2：构建对数合约积分方差期限结构

步骤3：计算离散前向方差

步骤4：设定前向方差波动率 λtT​

工作流总结

附：关键公式索引

3.4 关键特例： $p = 0$ ，漂移消失（§4.3.6）

步骤4：设定前向方差波动率 $λ_{t}^{T}$