第五章：方差互换

——从对数合约到前向方差曲线的实践基础

本笔记基于 Bergomi《Stochastic Volatility Modeling》第五章，按原书行文结构整理，兼顾数学推导的经济直觉与实务启发。

目录

1. 方差互换的前向方差（§5.1）
2. 方差互换与对数合约的关系（§5.2）
3. 大幅收益的影响（§5.3）
4. 行权价离散化的影响（§5.4）
5. 分红的影响（§5.6）
6. 利率波动率的影响（§5.8）
7. 加权方差互换（§5.9）
8. 用 PDE 定价方差互换（§5.7）
9. 附录 A：Timer 期权（§5.A）
10. 附录 B：对数正态密度的扰动（§5.B）
11. 端到端工作流算例

导言

第四章从理论上证明，对数合约的前向方差 ${\zeta }_t^T$ 具有零漂移的优美性质，是构建随机波动率模型的理想状态变量。但对数合约本身在场内并不交易——交易的是方差互换（variance swap，VS）。本章回答一个核心问题：方差互换与对数合约的隐含波动率是否相同？ 若相同，则第四章的建模框架可以直接落地；若不同，则差异来自哪里，如何处理？

本章系统地分析了这一等价性及其边界条件：在纯扩散模型中等价成立；在跳跃扩散模型中两者存在偏差，但偏差来自日收益率的三阶矩，量级极小（约0.2%波动率），实践中可忽略或用保守调整处理。此外，本章还讨论了分红、利率波动率和加权方差互换对定价的影响。

读完本章可以掌握：

• 方差互换的复制原理：对数合约+零波动率 delta 对冲
• ${\hat{\sigma }}_{VS,T}={\hat{\sigma }}_T$ 在扩散模型中的精确证明（式5.23）
• 跳跃扩散模型中的偏差量级及其与市场偏斜的关系（式5.28–5.32）
• 现金分红对 VS 复制的影响及修正方案（式5.47）
• 加权方差互换的复制框架（§5.9）

1. 方差互换的前向方差（§5.1）

研究动机

第四章指出前向方差的漂移为零（式4.36），但这一结论是在对数合约框架下推导的。方差互换作为实际可交易的工具，其隐含波动率与对数合约隐含波动率是否相同？本节先从市场结构角度说明 VS 前向方差天然是鞅，为后续的等价性论证铺垫。

1.1 VS 的支付结构与前向方差

方差互换到期支付实现方差减去约定方差：

其中 ${\hat{\sigma }}_{VS,T}(t)$ 是使 VS 初始价值为零的VS 波动率（公平执行价）。

离散前向方差的无漂移性：同时持有 $(T_2-t)$ 份 $T_2$ 期 VS 和空 $(T_1-t)$ 份 $T_1$ 期 VS，组合支付只包含 $[T_1,T_2]$ 区间的实现方差减去离散前向方差。构造轧平交易后，P&L 仅等于：

其中 ${\hat{\sigma }}_{VS,T_1{T}_2}^2=\frac{(T_2-t){\hat{\sigma }}_{VS,T_2}^2-(T_1-t){\hat{\sigma }}_{VS,T_1}^2}{T_2-T_1}$。这一 P&L 不需要任何初始资金——VS 前向方差是鞅，漂移为零（式5.6）。这与第四章推导的对数合约前向方差零漂移性质完全平行，只是通过纯套利论证直接得出，无需任何模型假设。

2. 方差互换与对数合约的关系（§5.2）

研究动机

知道了 VS 前向方差天然无漂移，下一步需要确认：VS 的隐含波动率 ${\hat{\sigma }}_{VS,T}$ 是否等于对数合约的隐含波动率 ${\hat{\sigma }}_T$（从而与第四章的建模框架对接）？本节通过"零波动率 delta 对冲"论证，在无跳跃扩散假设下给出精确等式。

2.1 对数合约作为 VS 的复制工具（§5.2）

VS 支付 ${\sum }_i{\ln }^2\left(\frac{S_{i+1}}{S_i}\right)$ 在 $\delta S/S$ 的二阶展开下等价于一组 $e^{-r(T-t_i)}(\delta S_i/S_i{)}^2$——这正是以零波动率对 delta 对冲期权时产生的 Gamma P&L（式5.8-5.9）。

寻找满足条件 $\frac{1}{2}{S}^2\frac{d^2{P}_{\hat{\sigma }=0}}{d{S}^2}=e^{-r(T-t)}$ 的欧式支付，解为对数合约（式5.10，$-2\ln S_T$）。以零波动率 delta 对冲对数合约恰好复制 VS 支付（精确到 $(\delta S{)}^2$ 阶）。

VS 波动率的定价：如果对数合约的市场价格就是其零波动率价格 $Q_{\hat{\sigma }=0}^T$，则 VS 的公平执行价为零。实际上对数合约有市场价格 $Q_{market}^T$，差值即为 VS 费用：

由于 $Q_{market}^T$ 是以对数合约隐含波动率 ${\hat{\sigma }}_T$ 定价的（由式5.10反解），代入得：

VS 前向方差等于对数合约前向方差（式5.14）：${\xi }_t^T={\zeta }_t^T$。

VS 的完整复制公式（用香草期权，式5.15-5.16）：

其中 $P_{\hat{\sigma }=0}^{KT}$ 是零波动率下期权的内在价值（折现远期内在价值）。实务中更高效的方式是用第四章的 Gauss-Hermite 公式（式5.17/4.21）直接从隐含波动率曲面计算。

3. 大幅收益的影响（§5.3）

研究动机

§5.2 的等价关系在 $(\delta S{)}^2$ 阶成立，更高阶项被忽略。实际上日收益率可以很大（崩盘、闪崩），这时两者的差异来自三阶及以上的项。扩散模型与跳跃扩散模型对这一差异的预测截然不同，由此引出一个重要的实务问题：是否应该用跳跃模型定价 VS？

3.1 扩散模型中的精确等价（§5.3.1）

在任意扩散模型 $d{S}_t=(r-q)S_{t}dt+{\bar{\sigma }}_t{S}_{t}d{W}_t$ 下，利用第二章的两模型价差公式（式2.30），以零波动率作为基准模型，得到：

同时，在扩散模型中 $(d\ln S_t{)}^2/dt={\bar{\sigma }}_t^2$，所以 VS 支付的期望值为 $E[\frac{1}{T}{\int }_0^T{\bar{\sigma }}_t^{2}dt]$。联合式（5.12）得到：

这意味着任何校准到同一市场微笑的扩散模型，对 VS 的定价完全一致——这是扩散框架的一个基本结论。进一步，将对数合约隐含波动率 ${\hat{\sigma }}_T$ 代入，立得 ${\hat{\sigma }}_{VS,T}={\hat{\sigma }}_T$。这一结论精确到任意阶，无任何近似。

3.2 跳跃扩散模型中的偏差（§5.3.2）

在扩散基础上叠加强度为 $\lambda$、相对幅度为 $J$ 的 Poisson 跳跃：

对数合约隐含波动率：

VS 隐含波动率（频繁观测极限）：

两者之差：

展开为 $J$ 的幂次，最低阶非零项为三阶：

经济含义：差值来自日收益率三阶矩——扩散模型中 $⟨r^3⟩\propto \Delta t^{3/2}$，趋零；跳跃模型中跳跃贡献 $\lambda \Delta t\overline{J^3}\propto \Delta t$，不趋零，两者由此产生差异。

3.3 从市场偏斜推断日收益率偏度（§5.3.3–5.3.5）

跳跃扩散模型中，ATMF 偏斜 ${\mathcal{S}}_T$ 与跳跃参数的关系（式5.30）：

代入式（5.29）得到偏差的微笑表达：

在弱偏斜近似下：

数值估算：1年期 VS，${\hat{\sigma }}_T=20\%$，${\mathcal{S}}_T=-0.2$（对应95%/105%偏斜约2 vols），则 ${\hat{\sigma }}_T{\mathcal{S}}_{T}T=-4\%$，即偏差约1 vol——看似显著。

但这一结论依赖于一个可疑假设：市场偏斜完全由跳跃（而非随机波动率）产生。跳跃模型隐含的日收益率偏度（式5.39）：

代入 ${\mathcal{S}}_T=-0.2$、$\Delta t=1/252$：${\hat{s}}_{\Delta t}\approx -19$。历史实测的日收益率偏度通常量级为 $O(1)$，变号且极不稳定（受1987年10月等极端事件影响巨大）。

根本问题：跳跃模型的偏斜 ${\mathcal{S}}_T\propto 1/T$，而实际市场偏斜约 $\propto 1/\sqrt{T}$——两者指数不同，说明市场偏斜的主要来源是随机波动率，而非独立增量的跳跃过程。用跳跃模型校准微笑来推断日收益率偏度，是不稳健的模型依赖关系。

3.4 实际数据与结论（§5.3.7）

对 S&P 500 指数20年日收益率，计算式（5.41）的比值（VS 支付与对数合约 delta 对冲 P&L 的相对偏差），显示：

图5.1：S&P 500 指数20年、以1年滑窗计算的比值（5.41）。数据极为嘈杂，典型量级约为 0.2%，说明实际日收益率偏度很小，扩散近似已足够精确。图中最大值出现在1987年崩盘期间，约为2.5%，但该值极度依赖估计窗口宽度，不具代表性。

实践结论：${\hat{\sigma }}_{VS,T}={\hat{\sigma }}_T$ 在扩散框架下精确成立，在实际中偏差约0.2%，远低于任何可交易对冲的精度。若需考虑极端跳跃情景，应直接用保守压力测试调整（式5.42），而非使用跳跃模型定价。

4. 行权价离散化的影响（§5.4）

对数合约需要无限行权价区间的香草期权复制，实际只能用离散行权价近似。图5.2比较了两种离散化密度（$\Delta \ln K=5\%$ 和 $1\%$）对1年期 VS 复制精度的影响：

图5.2：S&P 500 指数以1年期滑窗计算的 VS 支付与离散化对数合约 P&L 的相对偏差。左图 $\Delta \ln K=5\%$（粗）：偏差可达 $\pm 2\%$，但无系统性偏向（正态噪声）；右图 $\Delta \ln K=1\%$（细）：与图5.1相近，行权价足够密集时离散化误差可忽略。

实务结论：沪深300ETF期权等国内市场的行权价间距约为50–100点，对标的现货在4000–4500点，$\Delta K/S\approx 1.1\%\sim 2.2\%$，对应 $\Delta \ln K\approx 1\%\sim 2\%$，离散化误差在可接受范围内（右图精度）。但极虚值期权流动性不足，需注意外推方案对 ${\hat{\sigma }}_{VS,T}$ 的影响。

对中国市场的参照：国内目前尚无场内方差互换市场（场外偶有交易，但流动性极低），实务中 ${\hat{\sigma }}_{VS,T}$ 主要通过期权隐含波动率曲面计算，误差主要来自极虚值期权的外推选择，而非跳跃修正。

5. 分红的影响（§5.6）

5.1 对 VS 支付的影响（§5.6.1）

现金分红 $d$ 在收盘后导致现货跳价 $S\to S-d$，使该日对数收益率包含 $\ln ((S-d)/S)$ 的额外成分。

对股票 VS：市场惯例是用调整后收益率 $\ln (S_{i+1}/(S_i-d))$，因此分红贡献被消除。

对指数 VS：指数分红分散在约50个成分股的分红日，单次分红 $d/S\approx q/n$（$n=50$），每次对实现方差的贡献为 ${\ln }^2(1-q/n)\approx (q/n{)}^2$，全年50次合计 $\approx q^2/n\to 0$（大量级），数值上对 Euro Stoxx 50（$q=3\%$，$n=50$）：${\sigma }_r=\sqrt{(20\%{)}^2+50{\ln }^2(1-3\%/50)}\approx 20.005\%$——分红对 VS 支付的影响极小，可忽略。

5.2 对 VS 复制的影响（§5.6.2）

现金分红使对数合约的美元 Gamma 不再为常数（式5.45），需补充以分红日为到期日的欧式修正支付（式5.46）：

通过反向逐步递推，所有分红日均需补充形如 $2\ln ((S-d_j)/S)$ 的支付。完整复制公式变为（式5.47）：

实务中对指数 VS，可直接用局部波动率模型（校准到含分红的市场微笑）求解后向 PDE（式5.49-5.50）计算，更为便捷。需注意分红收益率需设上限（$y_j^{max}<1$），否则深度虚值的陡峭偏斜会导致修正项虚高。

6. 利率波动率的影响（§5.8）

期权隐含波动率是远期价格的波动率，而 VS 支付的是现货的实现方差。当利率随机时两者存在差异。在 Ho-Lee 模型（利率正态波动率 ${\sigma }_r$ 为常数）下：

一阶近似：

数值估算：${\hat{\sigma }}_T=25\%$，${\sigma }_r=5\text{ bps/天}\approx 0.79\%/年$，$\rho =50\%$，$T=5$ 年：修正约 $-\frac{0.5}{2}\times 0.79\%\times 5\approx -1\%$ vol——对长期 VS 不可忽略。

国内5年以上利率波动率较低，且目前 A 股个股期权和 ETF 期权期限以1年内为主，此项修正在实务中影响有限，但在长期利率衍生品定价场景下需关注。

7. 加权方差互换（§5.9）

加权 VS 支付 $\frac{1}{T-t}{\sum }_t^{T}w(S_i){\ln }^2\left(\frac{S_{i+1}}{S_i}\right)-{\hat{\sigma }}^2$，权重 $w(S)$ 使实现方差只在特定现货区间累积。

复制条件：找到欧式支付 $f(S)$ 使 $\frac{1}{2}{S}^2{f}^{\prime \prime }(S)=w(S)$。由于 $w(S)$ 依赖 $S$，以零波动率和 $q=r$ 的条件对冲（式5.59），P&L 恰好等于加权方差贡献（式5.60）。

主要类型：

Gamma swap 的 VS 波动率与标准 VS 类似，均可由式（5.48）的局部波动率积分计算，将权重 $w(S)=S/S_0$ 代入 PDE（式5.49）即可。

7.2 各类加权 VS 的详细分析

Gamma swap（$w(S)=S/S_0$）

复制支付为 $f(S)=2(S/S_0)\ln (S/S_0)$，中间期限支付为对数合约。若 $r=q=0$，复制组合只需到期日 $T$ 的 $S\ln S$ 合约，VS 波动率等于 $S\ln S$ 合约的隐含波动率 ${\hat{\sigma }}_{S\ln S}$（式4.22）。

关键性质：$S\ln S$ 合约用密度 $2/K$（而非标准 VS 的 $2/K^2$）复制，低行权价期权权重更小，因此在负偏斜市场中 ${\hat{\sigma }}_{S\ln S}\le {\hat{\sigma }}_{VS}$——卖方交付 Gamma swap 的"成本"低于标准 VS，因为低行权价的昂贵保护被减少了。

从买方角度：若认为现货上涨时波动率更高（如大宗商品），Gamma swap 更合适，因为它在现货高位时积累更多方差。

算术方差互换（$w(S)=S^2$）

支付 ${\sum }_i(S_{i+1}-S_i{)}^2$，复制支付为抛物线（$f(S)\propto S^2$）。由于展开式在二阶严格截断（抛物线的高阶导数为零），算术 VS 的复制在任意阶都精确，没有来自大收益率的误差——这在所有加权 VS 中是唯一的。缺点是价格对现货水平非常敏感，实务中较少使用。

条件方差互换（corridor VS，$w(S)=1_{S\in [L,H]}$）

只在现货处于 $[L,H]$ 区间时积累方差，常见形式为 down-VS（$S<H$）和 up-VS（$S>L$）。

终端复制支付为截断对数合约：

中间期限支付为期权与零息债的组合（行权价为 $L$ 和 $H$）。

穿越障碍的处理：当收益率从障碍一侧越到另一侧时（如 $S_i<H$，$S_{i+1}>H$），delta 对冲的实际 P&L 为：

与 term sheet 所规定的条件 VS 支付并不完全匹配——差值部分需要单独估算并计入定价。这是条件 VS 定价中不可忽略的实务复杂性。

8. 用 PDE 定价方差互换（§5.7）

研究动机

§5.6.2 的静态复制方案（对数合约加中间期限欧式支付）在原理上是精确的，但对指数 VS 而言分红日极多（Euro Stoxx 50 约50个/年），逐一计算中间期限支付代价高昂。利用§5.3.1的结论——任何校准到同一市场微笑的扩散模型对 VS 定价一致——可以选择局部波动率模型，通过 PDE 高效计算。

局部波动率模型下 VS 波动率（式5.48）：

求解后向 PDE（式5.49）：

终端条件 $U(T,S)=0$，在每个分红日 $T_j$ 施加匹配条件 $U(T_j^{-},S)=U(T_j^{+},S-d_j)$。结果为：

对指数 VS，还需在每个分红日加入 ${\ln }^2(1-d_j/S)$ 的贡献（匹配条件式5.51），但如§5.6.1所示该贡献极小。需注意有效分红收益率需设上限（$y_j^{max}<1$），防止陡峭偏斜导致修正项虚高。

大收益率调整：若需在 PDE 框架中纳入式（5.52）的跳跃修正（${\hat{\sigma }}_{VS,T}^2\approx {\hat{\sigma }}_T^2-\frac{1}{3}\epsilon J^3$），只需将 PDE（5.49）右端修改为：

对常数 $J$、$\epsilon$，解的修正量为常数 $-\frac{1}{3}\epsilon T{J}^3$，与底层局部波动率无关。

9. 附录 A：Timer 期权（§5.A）

研究动机

§5.2 指出，VS 是唯一美元 Gamma 为常数的期权，其最终 P&L 仅取决于实现波动率与隐含波动率之差，与路径无关。对一般期权，Gamma 是 $(t,S)$ 的函数，路径依赖使得即使平均实现波动率匹配隐含波动率，P&L 也可能不为零（第一章式1.9的讨论）。Timer 期权通过将物理时间替换为二次变差（quadratic variation），将一般期权也转化为对实现波动率鲁棒的工具。

A.1 动态调整隐含波动率至零 P&L（§5.A.1）

考虑持有短期权，以时变隐含波动率 ${\hat{\sigma }}_t$ 进行 delta 对冲，要求每步 P&L 精确为零（式5.62）：

利用 Black-Scholes 中 Vega-Gamma 关系（式5.66）：

推导细节：对 Black-Scholes PDE 关于 $\hat{\sigma }$ 求导，得到 Vega $V$ 满足的 PDE（式5.63），其源项为 $-\hat{\sigma }{S}^2{d}^{2}P/d{S}^2$。关键步骤：BS PDE 关于 $\ln S$ 求 $n$ 阶导后，$\frac{d^{n}P}{d\ln S^n}$ 仍满足同一 PDE，因此折现美元 Gamma 是鞅（式5.65-5.66 的推导），从而 Vega 等于 Gamma 乘以 $\hat{\sigma }(T-t)$。

代入零 P&L 条件，得到 ${\hat{\sigma }}_t$ 的动态方程：

积分得：

经济含义：${\hat{\sigma }}_t$ 是"剩余波动率预算"除以"剩余时间"的平方根。若截至时刻 $t$ 实现的二次变差 $Q_t={\hat{\sigma }}_0^{2}t$（恰好匹配），则 ${\hat{\sigma }}_t={\hat{\sigma }}_0$，carry P&L 为零；若 $Q_t>{\hat{\sigma }}_0^{2}t$（超额实现），则 ${\hat{\sigma }}_t<{\hat{\sigma }}_0$，负 Gamma P&L 被正 Vega MTM P&L 精确抵消。

两种到期结果：

• $Q_T<{\hat{\sigma }}_0^{2}T$（实现波动率不足）：到期时二次变差未耗尽，有剩余"时间价值"$Q={\hat{\sigma }}_0^{2}T-Q_T$，期权以正价值结算，P&L $\ge 0$（凸支付性质）
• $Q_T>{\hat{\sigma }}_0^{2}T$（实现波动率超额）：存在时刻 $\tau$ 使 $Q_{\tau }={\hat{\sigma }}_0^{2}T$，此后以零波动率继续 delta 对冲，P&L $\le 0$

关键性质：P&L 的符号由实现波动率与隐含波动率之差唯一决定（与路径无关），量级是随机的。这比标准期权更强——后者即使平均实现波动率匹配隐含波动率，P&L 也可能因路径不同而为任意符号。

A.2 Timer 期权的定义与定价（§5.A.2）

定义：Timer 期权支付 $f(S_{\tau })$，其中 $\tau$ 是二次变差 $Q_{\tau }$ 首次达到预设预算 $\mathcal{Q}$ 的时刻（代替固定到期日 $T$）。

无套利定价：P&L（式5.69b）在 $(\delta S{)}^2$ 阶为零的充要条件是：

第一个条件说明 P 不依赖物理时间（时间由 $Q$ 替代），第二个条件是以 $Q$ 为时间的 Black-Scholes 方程。解为：

其中 $Z\sim \mathcal{N}(0,1)$——这正是以剩余二次变差预算 $\mathcal{Q}-Q$ 为方差、波动率为1的 Black-Scholes 价格。

模型无关性：任何连续半鞅过程下，只要 delta 对冲精确（连续时间），Timer 期权的到期 P&L 精确为零。定价不依赖任何波动率模型——只要能交易 $S$，就能完美复制。实践中的模型依赖性来自三阶项（式5.71）：

比标准期权的 P&L（$\propto \delta S^2/S^2$）少一阶——Timer 期权的 gamma/theta 风险显著更小。

利率和分红的修正（式5.72-5.73）：利率不为零时，融资成本按物理时间计算，模型无关性条件变为两个 PDE（式5.72a-b），解为：

即定价等价于以远期价格 $F_{\tau }^T=S_{\tau }{e}^{(r-q)(T-\tau )}$ 在时刻 $T$ 结算，这一规定下利率随机性也不影响模型无关性。

实务注意：

• 实际 term sheet 通常定义 $\tau$ 为 $Q_{\tau }$ 超过 $\mathcal{Q}$ 的首个交易日，导致"overshoot"；最大期限 $T_{max}=2\mathcal{Q}/{\hat{\sigma }}^2$（参考波动率）等条款需额外定价
• 单股 Timer 期权风险更高（大幅隔夜跳价），指数 Timer 期权因分散效应相对稳健

A.3 衍生应用：杠杆 ETF（§5.A.4）

杠杆 ETF（LETF）以固定杠杆 $\beta$ 每日重新平衡投资组合。对数收益率展开到 $\delta \ln S^2$ 阶：

最后一项 $-\frac{\beta (\beta -1)}{2}\delta \ln S^2$ 即重新平衡导致的方差损耗：

• $\beta >1$（多头杠杆）：$\beta (\beta -1)>0$，每次波动均损耗 NAV
• $\beta <0$（反向 ETF）：$|\beta |(|\beta |+1)>0$，同样有损耗

这揭示了 LETF 的根本特征：路径依赖和波动率拖累。对比 Timer 期权，LETF 持有者暴露于实现方差的累积（通过 $Q_t$），而 Timer 期权买方则可以精确对冲这一暴露。

附录 B：对数正态密度的扰动（§5.B）

本附录给出 ATMF 偏斜 ${\mathcal{S}}_T$ 与收益率偏度 $s_T$ 之间的定量关系，为§5.3.5的讨论提供数学支撑。

对 $\ln (S_T/F_T)$ 的密度在对数正态基准 $\mathcal{N}(-\frac{{\hat{\sigma }}^{2}T}{2},{\hat{\sigma }}^{2}T)$ 附近展开到三阶累积量（偏度），得到 Black-Scholes 公式的一阶修正，进而推导出：

其中 $s_T=⟨r_T^3⟩/⟨r_T^2{⟩}^{3/2}$ 是 $\ln (S_T/F_T)$ 的偏度。

含义：若偏度 $s_T\propto \sqrt{T}$（跳跃扩散的典型缩放），则 ATMF 偏斜 ${\mathcal{S}}_T\propto 1/T$；若 $s_T\propto T^0$（随机波动率的典型行为），则 ${\mathcal{S}}_T\propto 1/\sqrt{T}$。实际市场中偏斜的期限结构更接近 $1/\sqrt{T}$，说明随机波动率而非独立增量跳跃是主导来源（§5.3.5 的核心论证）。

核心等价性：在扩散模型下，${\hat{\sigma }}_{VS,T}={\hat{\sigma }}_T$（式5.13/5.23），VS 前向方差与对数合约前向方差完全等同，从而与第四章的建模框架无缝对接。这一等价性是模型无关的（任何校准到同一市场微笑的扩散模型给出相同 VS 价格）。

跳跃修正：差异来自日收益率三阶矩，量级约0.2%，在扩散框架下可忽略。若市场 VS 价格明显高于/低于对数合约隐含波动率，应用式（5.42）进行保守压力测试调整，而非使用跳跃模型（后者对偏斜的使用方式不稳健）。

建模框架的最终形式（式5.43）：

${\xi }_t^T$ 即为 VS 前向方差曲线，无漂移，完全由波动率结构 ${\lambda }_t^T$ 参数化。这是第七章前向方差模型的精确起点。

专题：工作流算例——VS 定价与前向方差曲线构建

基础数据（沿用第四章算例）：$S_0=100$，$r=q=0$，市场隐含波动率曲面：3M 和 1Y 共11格点，已知对数合约隐含波动率 ${\hat{\sigma }}_T(3M)=20.1\%$，${\hat{\sigma }}_T(1Y)=20.3\%$（来自第四章步骤1-2的 Gauss-Hermite 积分结果）。

步骤1：计算 VS 隐含波动率

做什么：在扩散假设下，${\hat{\sigma }}_{VS,T}={\hat{\sigma }}_T$，直接等价。

积分方差：$v_{VS}(3M)=0.25\times (0.201{)}^2=0.010100$，$v_{VS}(1Y)=1.0\times (0.203{)}^2=0.041209$

关键观察：ATMF 隐含波动率（3M: 20.0%，1Y: 20.0%）低于 VS 隐含波动率（3M: 20.1%，1Y: 20.3%），差值约0.1–0.3%，来自负偏斜对对数合约隐含波动率的拉升（第三章式3.30）。

步骤2：计算离散前向方差

做什么：由式（5.4），提取 $[3M,1Y]$ 区间的 VS 前向方差。

对应前向波动率 $\sqrt{0.041479}\approx 20.37\%$。

关键观察：前向方差（20.37%²/年）略高于3M和1Y的当期对数合约方差，反映期限结构的小幅上倾。若1Y对数合约隐含波动率低于3M（下倾期限结构），前向方差将低于当期值，可能出现前向方差低于当期波动率的情形，需关注是否满足凸序条件。

步骤3：跳跃修正估算（可选）

做什么：若市场 VS 报价与对数合约隐含波动率存在差异，用式（5.42）估算合理调整幅度。

设压力情景：月度跳幅 $J=-5\%$，年化概率 $\epsilon =12$（每月一次）：

即 ${\hat{\sigma }}_{VS,T}^2=(20.3\%{)}^2-0.0006$，对应 ${\hat{\sigma }}_{VS,T}\approx 20.2\%$——调整幅度约0.1%，量级极小，与图5.1的历史观测一致。

步骤4：验证凸序条件与无漂移性

做什么：确认 VS 前向方差为正（凸序条件满足），验证无漂移性可供建模使用。

凸序条件 $v_{VS}(1Y)>v_{VS}(3M)$ 严格满足。VS 前向方差可以作为无漂移随机过程的初始条件，参数化 ${\lambda }_t^T=\nu e^{-\kappa (T-t)}$ 即可进入第七章的前向方差模型。

工作流总结

这四步确立了将 VS 市场报价作为状态变量进入随机波动率模型的完整路径，也说明了为什么第七章的前向方差模型可以直接以 VS 数据校准：VS 价格是欧式期权的线性泛函（式5.16），模型精确校准到它们等价于精确校准到 ${\hat{\sigma }}_T$ 的期限结构。

本章总结

核心等价性：在扩散模型下，${\hat{\sigma }}_{VS,T}={\hat{\sigma }}_T$（式5.13/5.23），VS 前向方差与对数合约前向方差完全等同。这一等价性模型无关——任何校准到同一市场微笑的扩散模型对 VS 定价一致，且精确成立于任意阶，无近似。

跳跃修正的正确处理：跳跃扩散模型给出 ${\hat{\sigma }}_{VS,T}-{\hat{\sigma }}_T\approx -2{\hat{\sigma }}_T^3{\mathcal{S}}_{T}T$（式5.32），但其前提是偏斜完全由跳跃产生（隐含 ${\mathcal{S}}_T\propto 1/T$），与实证不符（实际约 $\propto 1/\sqrt{T}$）。正确做法是保守压力测试调整（式5.42），而非跳跃模型定价。历史实证（图5.1）显示实际偏差约0.2%，可忽略。

分红的两重影响：支付层面（极小，$<0.01\%$）可忽略；复制层面（需补充分红日欧式支付）在实务中用局部波动率 PDE（式5.49-5.50）处理。利率波动率对长期 VS 影响达1 vol 点（5年期，式5.55）不可忽视。

加权 VS 的核心逻辑：所有变体均通过"找到满足 $\frac{1}{2}{S}^2{f}^{\prime \prime }(S)=w(S)$ 的支付 $f$，以零波动率和 $q=r$ 进行 delta 对冲"来复制，算术 VS 是唯一精确可复制（任意阶）的类型。条件 VS 的穿越障碍问题需单独估算。

Timer 期权：将物理时间替换为二次变差，使期权定价在连续时间下精确模型无关。P&L 的阶数比标准期权高一阶（$\delta S^3$ vs $\delta S^2$），风险显著更小，实务中利率和分红修正通过以远期结算来处理。

建模框架的最终形式（式5.43，本书后续章节的基础）：

${\xi }_t^T$ 为 VS 前向方差曲线，零漂移，完全由波动率结构 ${\lambda }_t^T$ 参数化——第七章的任务是具体设定 ${\lambda }_t^T$。

关键公式索引